Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée de la fonction exponentielle en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \). Formellement, comme :
\[ \lim_{h \to 0}\frac{a^{x + h} - a^x}{h} \quad , \quad \lim_{x \to x_0}\frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Sommaire
- Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
- Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
Calculons la dérivée de la fonction exponentielle \(f(x) = a^x\) comme limite du taux d'accroissement :
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0 + h} - a^{x_0}}{h} \]
Nous réécrivons le terme \( a^{x_0 + h} = a^{x_0} \cdot a^h \), donc :
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0} \cdot a^h - a^{x_0}}{h} \]
Maintenant nous pouvons factoriser \( a^{x_0} \) au numérateur :
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \]
La limite qui reste est la suivante :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln(a) \]
Par conséquent, la dérivée de la fonction exponentielle est :
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \ln(a) \]
Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
Appliquons la définition de dérivée à la fonction \(f(x) = a^x\), en obtenant :
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Nous réécrivons \( a^x = a^{x_0} \cdot a^{x - x_0} \), donc :
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} \]
Nous introduisons une variable auxiliaire \( u = x - x_0 \) (bien que ce ne soit pas nécessaire), car lorsque \( x \to x_0 \), \( x - x_0 \to 0 \). De cette façon, la limite devient :
\[ L = \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} = \lim_{u \to 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln(a) \]
La valeur de \( L \) est le logarithme naturel de la base \( a \), c'est-à-dire \( \ln(a) \). Par conséquent, la dérivée de la fonction exponentielle est :
\[ f'(x) = a^x \cdot \ln(a) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]