Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée de la fonction puissance en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \). Formellement, comme :
\[ \lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^n - x^n}{h} \quad , \quad \lim_{x \to x_0}\frac{x^n - x_0^n}{x - x_0} \]
Sommaire
- Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
- Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
Nous voulons calculer la dérivée de la fonction \( f(x) = x^n \) en utilisant la définition du taux d'accroissement :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
En substituant \( f(x) = x^n \) :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \]
Nous utilisons le développement binomial :
\[ (x+h)^n = x^n + n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n \]
En substituant :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^n + n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n - x^n}{h} \]
En simplifiant :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n}{h} \]
En divisant tout par \( h \) :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{n-3} h^2 + \dots + h^{n-1} \right) \]
Lorsque \( h \) tend vers \( 0 \), tous les termes contenant \( h \) s'annulent :
\[ f'(x) = n x^{n-1} \]
Nous concluons donc que :
\[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}, \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
Calculons la dérivée de la fonction puissance ( \( f(x) = x^n \) ) comme limite du taux d'accroissement :
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{x^n - x_0^n}{x - x_0}\end{align}
Le numérateur du taux d'accroissement est la différence de puissances \( x^n - x_0^n \) :
\[ x^n - x_0^n = (x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}) \]
En substituant dans l'expression de la dérivée et en simplifiant :
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1})}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \left(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}\right) \end{align}
Quand \( x \to x_0 \), tous les termes sont évalués en \( x_0 \) :
\[ f'(x_0) = n x_0^{n-1} \]
Par conséquent, la dérivée de la fonction \( f(x) = x^n \) est :
\[ f'(x) = n x^{n-1} \qquad \forall x \in \mathbb{ R } \]