Commençons par la dérivée de la tangente \( f(x) = \tan(x) \). La limite du taux d'accroissement est
\begin{align} f'(x) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &=\lim_{x \to x_0} \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} \end{align}
En utilisant l'identité pour la différence de tangentes :
\[ \tan(x) - \tan(x_0) = \frac{\sin(x - x_0)}{\cos(x) \cos(x_0)} \]
En substituant cette identité dans le taux d'accroissement, nous obtenons :
\[ \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} = \frac{\frac{\sin(x - x_0)}{\cos(x) \cos(x_0)}}{x - x_0} \]
En simplifiant :
\[ \frac{1}{\cos(x) \cos(x_0)} \cdot \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} \]
Maintenant, quand \( x \to x_0 \), nous utilisons la limite remarquable :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} = 1 \]
Par conséquent, l'expression devient :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\cos(x) \cos(x_0)} \cdot 1 = \frac{1}{\cos^2(x_0)} \]
Puisque \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), nous pouvons réécrire le résultat final comme :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} = \sec^2(x_0) \]
Donc
\[ f'(x)=\sec^2(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]
Maintenant, calculons la dérivée de la cotangente \( g(x) = \cot(x) \). La limite du taux d'accroissement est
\begin{align} g'(x) &= \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &=\lim_{x \to x_0} \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} \end{align}
En utilisant l'identité pour la différence de cotangentes :
\[ \cot(x) - \cot(x_0) = -\frac{\sin(x - x_0)}{\sin(x) \sin(x_0)} \]
En substituant cette identité dans le taux d'accroissement, nous obtenons :
\[ \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} = \frac{-\frac{\sin(x - x_0)}{\sin(x) \sin(x_0)}}{x - x_0} \]
En simplifiant :
\[ -\frac{1}{\sin(x) \sin(x_0)} \cdot \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} \]
Maintenant, quand \( x \to x_0 \), nous utilisons la limite remarquable :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} = 1 \]
Par conséquent, l'expression devient :
\[ \lim_{x \to x_0} -\frac{1}{\sin(x) \sin(x_0)} \cdot 1 = -\frac{1}{\sin^2(x_0)} \]
Puisque \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\), nous pouvons réécrire le résultat final comme :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} = -\csc^2(x_0) \]
Donc
\[ g'(x)=-\csc^2(x)\quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]