Commençons par la dérivée de la tangente \( f(x) = \tan(x) \). La limite du quotient différentiel est :
\[ f'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} \]
En utilisant l'identité pour la différence des tangentes:
\[ \tan(x) - \tan(x_0) = \frac{\sin(x - x_0)}{\cos(x) \cos(x_0)} \]
En substituant cette identité dans le quotient différentiel, on obtient:
\[ \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} = \frac{\frac{\sin(x - x_0)}{\cos(x) \cos(x_0)}}{x - x_0} \]
En simplifiant:
\[ \frac{1}{\cos(x) \cos(x_0)} \cdot \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} \]
Maintenant, lorsque \( x \to x_0 \), on utilise la limite remarquable:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} = 1 \]
Ainsi, l'expression devient:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\cos(x) \cos(x_0)} \cdot 1 = \frac{1}{\cos^2(x_0)} \]
Comme \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), on peut réécrire le résultat final comme suit:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} = \sec^2(x_0) \]
Ainsi:
\[ f'(x) = \sec^2(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \]
Passons maintenant à la dérivée de la cotangente \( g(x) = \cot(x) \). La limite du quotient différentiel est :
\[ g'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} \]
En utilisant l'identité pour la différence des cotangentes:
\[ \cot(x) - \cot(x_0) = -\frac{\sin(x - x_0)}{\sin(x) \sin(x_0)} \]
En substituant cette identité dans le quotient différentiel, on obtient:
\[ \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} = \frac{-\frac{\sin(x - x_0)}{\sin(x) \sin(x_0)}}{x - x_0} \]
En simplifiant:
\[ -\frac{1}{\sin(x) \sin(x_0)} \cdot \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} \]
Maintenant, lorsque \( x \to x_0 \), on utilise la limite remarquable:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} = 1 \]
Ainsi, l'expression devient:
\[ \lim_{x \to x_0} -\frac{1}{\sin(x) \sin(x_0)} \cdot 1 = -\frac{1}{\sin^2(x_0)} \]
Comme \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\), on peut réécrire le résultat final comme suit:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} = -\csc^2(x_0) \]
Ainsi:
\[ g'(x) = -\csc^2(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \]