Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée du logarithme de base \( b > 0 \) en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \) :
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
Sommaire
- Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
- Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
Considérons la fonction \( f(x) = \log_b(x) \). La dérivée de \( f(x) \) est donnée par :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h} \quad ( * ) \]
Nous utilisons la formule du changement de base des logarithmes (Propriétés des Logarithmes) :
\[ \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
Donc, le numérateur dans \( (*) \) devient :
\[ \log_b(x + h) - \log_b(x) = \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{\ln(b)} \]
En simplifiant :
\[ f'(x) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \]
Nous savons déjà que :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} = \frac{1}{x} \]
Donc :
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)} \]
Nous trouvons ainsi que la dérivée de \( \log_b(x) \) est :
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]
Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
Considérons maintenant le taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \) :
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
En appliquant la formule du changement de base des logarithmes (Propriétés des Logarithmes)
\[ \log_b(x) - \log_b(x_0) = \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{\ln(b)} \]
En simplifiant :
\[ f'(x_0) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Nous savons que :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} = \frac{1}{x_0} \]
Donc :
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0 \ln(b)} \]
Dans ce cas également, nous obtenons :
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]