Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée du logarithme naturel en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \). Formellement, comme :
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
- Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
- Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
Limite du taux d'accroissement pour \( h \to 0 \)
En appliquant cette définition à la fonction \( \ln(x) \), nous obtenons :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \quad ( * ) \]
En utilisant la propriété des logarithmes, nous pouvons réécrire le numérateur dans \( ( * ) \) comme :
\[ \ln(x + h) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x + h}{x}\right) \]
Donc,
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} \]
Pour simplifier davantage, nous observons que cette dernière expression cache une limite remarquable. Si nous posons \( t = \frac{h}{x} \), alors \( h = x t \). Par conséquent, quand \( h \to 0 \), aussi \( t \to 0 \). Donc
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} \stackrel{\text{Limite Remarquable}}{=} \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]
Nous trouvons donc que la dérivée de \( \ln(x) \) est
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]
Limite du taux d'accroissement pour \( x \to x_0 \)
De la même manière, nous calculons la limite quand \( x \to x_0 \). En utilisant cette définition, la limite du taux d'accroissement est
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Nous exploitons la propriété des logarithmes \( \ln( x ) - \ln(x_0) = \ln \left (\frac{x}{x_0} \right ) \). Le numérateur devient :
\[ \ln(x) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x}{x_0}\right) \]
Donc,
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln\left(\frac{x}{x_0}\right)}{x - x_0} \qquad (*) \]
Pour simplifier, nous posons \( u = x - x_0 \), ce qui implique que \( x = x_0 + u \). Quand \( x \to x_0 \), aussi \( u \to 0 \).
En substituant \( x = x_0 + u \) dans la limite \( (*) \), nous avons
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x_0 + u}{x_0}\right)}{u} \]
L'argument du logarithme peut être réécrit de manière à identifier plus facilement la limite remarquable qui nous permettra de calculer la dérivée que nous cherchons.
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{u}{x_0}\right)}{u} \]
Si nous posons \( t = \frac{u}{x_0}\), alors \( u = x_0 t \). De plus \( u \to 0 \) implique \( t \to 0 \) :
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} \stackrel{\text{Limite Remarquable}}{=} \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0} \]
Nous concluons que, comme dans le cas précédent, la dérivée de \( \ln(x) \) est :
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]