Ensembles de Nombres : Naturels, Entiers, Rationnels, Irrationnels et Réels

Les nombres sont le langage universel des mathématiques. Du simple comptage d'objets aux équations les plus complexes de la physique moderne, les nombres nous accompagnent dans chaque aspect de la vie quotidienne et de la recherche scientifique. Mais comment sont nés les différents types de nombres que nous utilisons ? Et pourquoi en avons-nous besoin d'autant ?

La réponse réside dans une très belle construction mathématique : en partant des nombres les plus simples (ceux que nous utilisons pour compter), chaque fois que nous rencontrons un problème que nous n'arrivons pas à résoudre, nous « inventons » de nouveaux nombres qui nous permettent de le résoudre. C'est comme construire une maison : on part des fondations et on ajoute un étage à la fois, jusqu'à obtenir une structure complète et robuste.

Sommaire

• Les Nombres Naturels \(\mathbb{N}\)
• Les Nombres Entiers \(\mathbb{Z}\)
• Les Nombres Rationnels \(\mathbb{Q}\)
• Les Nombres Irrationnels
• Les Nombres Réels \(\mathbb{R}\)
• La Grande Famille : Comment Ils Sont Liés
• Pourquoi Sont-Ils Importants ?

Tout commence avec les nombres que nous apprenons enfants : 1, 2, 3, 4, 5... Les nombres naturels sont les premiers nombres que l'humanité a utilisés, nés du besoin pratique de compter des objets.

Définition : L'ensemble des nombres naturels \(\mathbb{N}\) peut être défini de deux façons :

• \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}\) (la version « classique »)
• \(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\}\) (en incluant zéro)

Que pouvons-nous faire avec les nombres naturels ?

Les nombres naturels sont parfaits pour certaines opérations :

• Addition : \(3 + 5 = 8\) (toujours un nombre naturel)
• Multiplication : \(4 \times 6 = 24\) (toujours un nombre naturel)

Nous pouvons aussi définir un ordre : \(1 < 2 < 3 < 4 < ...\)

Le premier problème : la soustraction

Mais que se passe-t-il si nous voulons calculer \(3 - 5\) ? Ou plus généralement, \(x + 5 = 3\) ? Avec les seuls nombres naturels, ce problème n'a pas de solution ! C'est ici que naît le besoin d'« inventer » de nouveaux nombres.

Pour résoudre le problème de la soustraction, les mathématiciens ont introduit les nombres négatifs. Naissent ainsi les nombres entiers.

Définition : L'ensemble des nombres entiers \(\mathbb{Z}\) inclut tous les nombres naturels, leurs opposés et zéro :

\[\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\]

Les avantages des nombres entiers

Avec les nombres entiers nous pouvons enfin :

• Soustraire librement : \(3 - 5 = -2\)
• Avoir un élément neutre pour l'addition : \(a + 0 = a\)
• Chaque nombre a un opposé : \(5 + (-5) = 0\)

Les nombres entiers forment ce que les mathématiciens appellent un anneau : une structure où l'addition, la soustraction et la multiplication fonctionnent toujours comme nous l'attendons.

Le deuxième problème : la division

Maintenant nous pouvons résoudre des équations comme \(x + 5 = 3\), mais que faisons-nous avec \(3x = 7\) ? Là aussi, avec les seuls nombres entiers nous n'avons pas de solution. Il faut un nouveau saut qualitatif.

Pour gérer la division, nous introduisons les fractions. Les nombres rationnels sont tous ces nombres qui peuvent être écrits comme rapport de deux entiers.

Définition : L'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) est :

\[\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}\]

Exemples : \(\displaystyle \frac{3}{7}\), \(\displaystyle \frac{-5}{2}\), \(\displaystyle \frac{22}{7}\) (une approximation de \(\pi\)), \(4 = \displaystyle \frac{4}{1}\)

Les nombres rationnels sont un corps

Avec les nombres rationnels nous pouvons faire les quatre opérations fondamentales :

• Addition et soustraction : toujours possibles
• Multiplication : toujours possible
• Division : possible pour tout nombre différent de zéro

Comment reconnaître un nombre rationnel

Chaque nombre rationnel, quand il est écrit sous forme décimale, a une caractéristique spéciale :

• Décimales finies : \(\displaystyle \frac{1}{4} = 0,25\)
• Décimales périodiques : \(\displaystyle \frac{1}{3} = 0,333...\), \(\displaystyle \frac{22}{7} = 3,142857142857...\)

Règle importante : Un nombre est rationnel si et seulement si sa représentation décimale est finie ou périodique.

Une découverte bouleversante : \(\sqrt{2}\) n'est pas rationnel !

Les anciens mathématiciens grecs firent une découverte : il existe des nombres qui ne peuvent pas être écrits comme fractions ! Le plus célèbre est \(\sqrt{2}\), la longueur de la diagonale d'un carré de côté \( 1 \).

Démonstration (par l'absurde) : Supposons que \(\sqrt{2} = \displaystyle \frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers sans facteurs communs. En élevant au carré : \(2 = \displaystyle \frac{p^2}{q^2}\), donc \(2q^2 = p^2\). Cela signifie que \(p^2\) est pair, donc \(p\) aussi est pair. Si \(p = 2k\), alors \(2q^2 = 4k^2\), c'est-à-dire \(q^2 = 2k^2\). Mais alors \(q\) aussi est pair, contredisant l'hypothèse que \(p\) et \(q\) n'ont pas de facteurs communs.

Cette découverte révolutionna les mathématiques : il existait des nombres « irrationnels » !

Les nombres irrationnels sont tous ces nombres réels qui ne sont pas rationnels. En d'autres termes, ils ne peuvent pas être écrits comme fraction d'entiers.

Définition : Les nombres irrationnels sont tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels, c'est-à-dire \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)

Comment reconnaître un nombre irrationnel

Un nombre irrationnel a toujours une représentation décimale infinie et non périodique. Exemples :

• \(\sqrt{2} = 1,414213562373...\) (continue à l'infini sans se répéter)
• \(\pi = 3,141592653589...\) (le rapport entre circonférence et diamètre)
• \(e = 2,718281828459...\) (la base des logarithmes naturels)

Deux familles de nombres irrationnels

Nombres algébriques

Ce sont des solutions d'équations polynomiales à coefficients rationnels :

• \(\sqrt{2}\) (solution de \(x^2 - 2 = 0\))
• \(\sqrt{3}\), \(\sqrt[3]{5}\), etc.
• Le nombre d'or : \(\phi = \displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)

Nombres transcendants

Ne sont solutions d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels. Ils sont « plus irrationnels » que les algébriques :

• \(\pi\) (démontré par Lindemann en 1882)
• \(e\) (démontré par Hermite en 1873)

Finalement nous arrivons à l'ensemble le plus complet : les nombres réels. Ceux-ci incluent tous les nombres que nous avons vus jusqu'à présent.

La complétude des nombres réels

Les nombres réels ont une propriété fondamentale appelée complétude : ils remplissent complètement la droite numérique, sans « trous ». Cela signifie que :

• Chaque point sur la droite correspond à un nombre réel
• Chaque nombre réel correspond à un point sur la droite
• Il n'y a pas d'« espaces vides » entre les nombres

Propriétés importantes des nombres réels

• Corps ordonné complet : toutes les opérations fonctionnent et tout ensemble majoré a une borne supérieure
• Densité : entre deux nombres réels quelconques il y en a une infinité d'autres
• Connexité : la droite réelle est « toute d'une pièce »

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires

Une des conséquences les plus belles de la complétude est le Théorème des Valeurs Intermédiaires de Bolzano :

Théorème : Si une fonction continue \(f\) sur un intervalle \([a,b]\) prend des valeurs de signe opposé aux extrémités (c'est-à-dire \(f(a) \cdot f(b) < 0\)), alors il existe au moins un point \(c\) dans l'intervalle où \(f(c) = 0\).

En mots simples : si une fonction continue « part en dessous » de l'axe des \( x \) et « arrive au-dessus » (ou vice versa), elle doit nécessairement traverser l'axe quelque part !

Tous ces ensembles de nombres sont liés dans une chaîne d'inclusions :

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]

Chaque ensemble contient le précédent comme cas particulier :

• Les naturels sont des entiers particuliers (les positifs)
• Les entiers sont des rationnels particuliers (ceux avec dénominateur \( 1 \))
• Les rationnels sont des réels particuliers

Un fait surprenant

Bien que les nombres rationnels soient « denses » (entre deux rationnels il y a toujours un autre rationnel), en réalité ils sont « très peu nombreux » par rapport aux irrationnels. Si nous pouvions « peser » les nombres sur la droite réelle, les rationnels auraient un « poids nul » ! Cela signifie que l'immense majorité des nombres réels sont irrationnels.

Dans la vie quotidienne

Nous utilisons différents types de nombres sans nous en rendre compte :

• Naturels : compter des objets, âge, quantités
• Entiers : températures sous zéro, étages d'un immeuble (étage \( -2 \))
• Rationnels : recettes de cuisine (\(\displaystyle \frac{3}{4}\) de tasse), pourcentages, prix
• Irrationnels : mesures géométriques précises, calculs scientifiques

Dans la science et l'ingénierie

• Physique : beaucoup de constantes fondamentales sont irrationnelles (\(\pi\), \(e\))
• Géométrie : \(\sqrt{2}\) pour les diagonales, \(\pi\) pour les circonférences et aires
• Statistiques : la fameuse courbe en cloche implique \(e\) et \(\pi\)
• Informatique : algorithmes de cryptographie basés sur les nombres premiers

En mathématiques avancées

Les nombres réels sont la base pour :

• Analyse : limites, dérivées, intégrales
• Géométrie : coordonnées, distances, aires, volumes
• Équations différentielles : modèles de croissance, oscillations, ondes

En quelques siècles, l'humanité est passée du simple comptage avec des cailloux à la construction d'un édifice mathématique d'extraordinaire élégance et puissance.

Chaque fois que les mathématiciens ont rencontré une limite - une équation impossible à résoudre, un calcul qui ne pouvait pas se faire - au lieu d'abandonner ils ont « inventé » de nouveaux nombres. Et chaque invention a ouvert des portes inimaginables :

• Les nombres négatifs ont rendu possible l'algèbre moderne
• Les fractions ont permis des mesures précises
• Les irrationnels ont révélé la vraie nature de la géométrie
• Les réels ont rendu possible le calcul infinitésimal

Mais l'histoire ne finit pas là. Après les réels, les mathématiciens ont continué leur exploration en créant les nombres complexes (pour résoudre \(x^2 + 1 = 0\)), les quaternions, et des structures encore plus exotiques.

La leçon la plus importante : en mathématiques, chaque « impossibilité » n'est souvent que le début d'une nouvelle découverte. Quand nous n'arrivons pas à résoudre un problème avec les outils que nous avons, c'est peut-être le moment d'inventer de nouveaux outils !