Une équation du premier degré est un polynôme de premier degré égalé à zéro. En général, une équation est du premier degré si elle peut être écrite sous la forme canonique :
\[ ax + b = 0 \quad \text{avec} \quad a \neq 0 \]
La partie à gauche du signe égal s'appelle le premier membre, tandis que celle à droite s'appelle le deuxième membre.
Table des Matières
- Comment résoudre une équation du premier degré
- Premier principe d'équivalence
- Deuxième principe d'équivalence
- Exercices
- Erreurs communes à éviter
- Signification géométrique
Comment résoudre une équation du premier degré
Résoudre une équation du premier degré signifie trouver la valeur qui, lorsqu'elle est substituée à l'inconnue \( x \), satisfait l'équation. Cela signifie que la valeur (solution de l'équation) doit rendre l'égalité vraie. Le processus de résolution comprend plusieurs étapes, appelées principes d'équivalence pour les équations.
Premier principe d'équivalence
Le premier principe d'équivalence stipule que, en ajoutant ou en soustrayant une quantité ou une expression algébrique des deux membres d'une équation, l'ensemble des solutions ne change pas.
Grâce à ce principe, nous pouvons soustraire la quantité \( -b \) des deux membres :
\[ ax = -b \]
Notez que l'ajout ou la soustraction d'une quantité aux deux membres équivaut à "transférer" cette quantité d'un membre à l'autre, à condition de changer le signe. Pour l'instant, nous avons transféré \( b \) au deuxième membre en changeant de signe, donc \( -b \).
Deuxième principe d'équivalence
Le deuxième principe d'équivalence stipule que, en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre non nul, l'ensemble des solutions de l'équation ne change pas.
En appliquant ce principe à l'équation équivalente \( ax = -b \), et en divisant les deux membres par le nombre \( a \neq 0 \), nous obtenons :
\[ x = -\frac{b}{a} \]
Il est important de souligner que \( a \) doit être différent de zéro pour que l'équation ait un sens. En effet, si \( a = 0 \), l'équation deviendrait \( 0 \cdot x + b = 0 \), ce qui donne \( b = 0 \), ce qui ne représente pas une équation en \( x \) et serait impossible si \( b \neq 0 \).
À partir de maintenant, l'objectif sera d'isoler la variable \( x \) dans le premier membre, ou dans le second (cela ne change rien).
Exercices
Exercice 1. Résoudre l'équation \( 3x - 1 = 0\).
Solution. Transférons \( -1 \) au second membre (en changeant son signe) :
\[ 3x = 1 \]
Enfin, en divisant les deux membres par \( 3 \), nous obtenons la solution recherchée :
\[ x = \frac{1}{3} \]
Vérification. Pour vérifier que c'est la bonne solution, nous substituons la valeur trouvée dans l'équation d'origine. Nous obtenons :
\[ 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0 \]
Donc la solution est correcte.
Exercice 2 : Résoudre l'équation du premier degré \(\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)=-x+1\).
Solution. Commençons par isoler l'inconnue \( x \) dans le premier membre :
\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \implies \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = -x + 1 \]
Maintenant, ajoutons \( x \) des deux membres de l'équation :
\[ \frac{x}{2} + x - \frac{1}{2} = 1 \]
Simplifions en transformant \( x \) en un terme avec un dénominateur commun :
\[ \frac{x}{2} + \frac{2x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{3x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \]
Ajoutons \(\displaystyle\frac{1}{2}\) des deux membres :
\[ \frac{3x}{2} = \frac{3}{2} \]
Maintenant, multiplions les deux membres par \(\displaystyle\frac{2}{3}\) pour résoudre pour \(x\) :
\[ x = 1 \]
Donc, la solution est \( x = 1 \).
Vérification. Comme précédemment, substituons \( x = 1 \) dans l'équation d'origine :
\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \]
Lorsque \( x = 1 \), nous obtenons :
\[ \frac{1}{2}(1 - 1) = -1 + 1 \]
Calculons les deux membres :
\[ \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \quad \text{et} \quad -1 + 1 = 0 \]
Les deux membres sont égaux, donc la solution est correcte.
Exercice 3. Résoudre l'équation \( 5(x - 2) - 3(2x + 1) = 7 - 4x \)
Solution. Appliquons la propriété distributive :
\[ 5x - 10 - 6x - 3 = 7 - 4x \]
\[ -x - 13 = 7 - 4x \]
Transférons les termes avec \(x\) dans le premier membre et les termes constants dans le second membre :
\[ -x + 4x = 7 + 13 \]
\[ 3x = 20 \]
Divisons les deux membres par 3 :
\[ x = \frac{20}{3} \]
Vérification. Substituons \(\displaystyle x = \frac{20}{3}\) dans l'équation d'origine :
\[ 5\left(\frac{20}{3} - 2\right) - 3\left(2\cdot\frac{20}{3} + 1\right) = 7 - 4\cdot\frac{20}{3} \]
Calculons le premier membre :
\[ 5\left(\frac{20}{3} - \frac{6}{3}\right) - 3\left(\frac{40}{3} + \frac{3}{3}\right) = 5\cdot\frac{14}{3} - 3\cdot\frac{43}{3} = \frac{70}{3} - \frac{129}{3} = -\frac{59}{3} \]
Calculons le second membre :
\[ 7 - 4\cdot\frac{20}{3} = \frac{21}{3} - \frac{80}{3} = -\frac{59}{3} \]
Les deux membres sont égaux, donc la solution est vérifiée :
\[ x = \frac{20}{3} \]
Erreurs courantes à éviter
Lors de la résolution d'équations du premier degré, il est important de faire attention à certaines erreurs fréquentes :
Erreur dans le changement de signe : Lorsqu'on déplace un terme d'un membre à l'autre, il faut se rappeler de changer son signe. Par exemple, dans l'équation \(2x + 3 = 5\), en déplaçant le \( 3 \), on obtient \(2x = 5 - 3\) et non \(2x = 5 + 3\).
Distribution incomplète : Lorsqu'on a une expression du type \(3(x + 2)\), le coefficient \( 3 \) doit être multiplié par tous les termes à l'intérieur de la parenthèse. Une erreur courante consiste à écrire \(3x + 2\) au lieu du correct \(3x + 6\).
Erreurs avec les fractions : Lorsqu'on a une équation comme \(\displaystyle \frac{x}{2} = 3\), pour isoler \(x\), il faut multiplier les deux membres par 2, ce qui donne \(x = 6\). Il est incorrect d'écrire \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).
Simplification imprécise : Dans une équation comme \(2x - x = 5\), il ne faut pas oublier de simplifier les termes similaires avant de continuer. La forme correcte est \(x = 5\).
Vérification manquante : Sauter l'étape de la vérification peut conduire à ne pas remarquer d'éventuelles erreurs de calcul. Il est toujours recommandé de substituer la solution trouvée dans l'équation originale pour confirmer qu'elle est correcte.
Signification Géométrique
Résoudre une équation du premier degré \( ax + b = 0\) signifie trouver la valeur à laquelle la droite d'équation
\[ y = ax + b \]
coupe l'axe des abscisses (axe \( x \)). Par exemple, la droite d'équation \( y = 2x - 1 \)
coupe l'axe des abscisses au point \( x = \displaystyle \frac{1}{2} \), comme montré dans la figure.
Nous avons dit que la solution d'une équation du premier degré \( ax + b = 0 \) est l'abscisse où la droite coupe l'axe \(x\). Maintenant, posons-nous une autre question : comment pouvons-nous déterminer la valeur de \( x \) pour laquelle la droite \( y = ax + b \) prend une valeur spécifique, par exemple \( y = 2 \) ?
Pour cela, il suffit de poser \( y = 2 \) dans l'équation de la droite. Nous obtenons ainsi \( 2 = 2x - 1 \iff 2x - 3 = 0 \), donc :
\[ x=\frac{3}{2} \]
Comme montré dans la figure, la solution que nous avons trouvée correspond à l'ordonnée \(y=2\).
