Les fonctions paires et les fonctions impaires se distinguent par leur symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et à l'origine, respectivement.
Définition. La fonction \( f : X \to Y \) est dite paire si, pour tout \( x \in X \)
$$ f(-x) = f(x) $$
Exemple. La fonction \( f(x) = \cos x \) est une fonction paire. En effet, pour tout \( x \in \mathbb{R} \) on a \( \cos(-x) = \cos x \).
Exemple. La fonction \( f(x) = x^2 \) est une fonction paire. En effet, pour tout \( x \in \mathbb{R} \) on a \( (-x)^2 = x^2 \). Son graphique cartésien est une parabole, comme illustré dans la figure :
Une fonction est impaire si, pour un point \( x \) du domaine, l'image de \( -x \) est exactement l'opposé de l'image du point \( x \).
Définition. La fonction \( f : X \to Y \) est dite impaire si, pour tout \( x \in X \)
$$ f(-x) = - f(x) $$
Exemple. La fonction \( f(x) = \sin x \) est une fonction impaire. En effet, pour tout \( x \in \mathbb{R} \) on a \( \sin(-x) = -\sin x \).
Exemple. La fonction \( f(x) = x^3 \) est une fonction impaire. En effet, pour tout \( x \in \mathbb{R} \) on a \( (-x)^3 = -x^3 \). Le graphique cartésien est présenté dans la figure :
Comme déjà mentionné, une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; cela signifie que pour étudier le graphique d'une fonction paire, il suffit de l'analyser pour des valeurs positives (ou négatives), puisque celui-ci sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Il en va de même pour une fonction impaire, à condition de tracer le graphique de manière symétrique par rapport à l'origine des axes cartésiens.
Un autre cas dans lequel les fonctions paires et impaires sont d'une grande utilité est lorsque nous devons calculer l'intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à l'origine. Si \( f \) est paire, on a
$$ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx $$
Si, en revanche, \( f \) est impaire, alors on a
$$ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 $$
Si \( f : X \to Y \) est telle que \( f(-x) \neq f(x) \) et \( f(-x) \neq -f(x) \), alors elle n'est ni paire ni impaire.
Exemple : La fonction \( f(x) = e^x \) n'est ni paire ni impaire, tout comme la fonction \( f(x) = x + 1 \).