L'inégalité de Bernoulli, énoncée par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1689, est d'une importance fondamentale car elle permet d'établir des majorations et des minorations pour les fonctions exponentielles et polynomiales.
Théorème. (Inégalité de Bernoulli). Soit \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(x \geq -1\). Alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\), l'inégalité suivante est vérifiée :
\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]
Démonstration. Nous procédons par récurrence sur l'entier naturel \(n\).
Initialisation : Pour \(n = 0\), nous avons :
\[ (1 + x)^0 = 1 = 1 + 0 \cdot x \]
donc la propriété est vérifiée.
Hypothèse de récurrence : Supposons que l'inégalité soit vraie pour un certain \(k \in \mathbb{N}\), c'est-à-dire :
\[ (1 + x)^k \geq 1 + kx \]
Hérédité : Montrons que l'inégalité est vérifiée pour \(k + 1\). Multiplions les deux membres de l'hypothèse de récurrence par \((1 + x)\). Cette opération préserve le sens de l'inégalité car \(x \geq -1\) implique \((1 + x) \geq 0\). Nous obtenons :
\[ \begin{align} (1 + x)^{k+1} & \geq (1 + kx)(1 + x) \\ & = 1 + x + kx + kx^2 \\ & = 1 + (k + 1)x + kx^2 \\ & \geq 1 + (k + 1)x \end{align} \]
La dernière inégalité est justifiée par le fait que \(kx^2 \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et \(k \in \mathbb{N}\). Par le principe de récurrence, l'inégalité est démontrée pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Remarque. La condition \(x \geq -1\) est nécessaire pour garantir que la multiplication par \((1 + x)\) dans l'étape d'hérédité préserve le sens de l'inégalité.
Exemple. L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée pour estimer la fonction exponentielle \(e^x\). Sachant que
\[ e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \]
nous pouvons appliquer l'inégalité et obtenir une minoration.
L'inégalité de Bernoulli nous dit que :
\[ \begin{align*} e^x & = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \\ & \geq \lim_{n \to \infty} \left(1 + n \cdot\frac{x}{n}\right) = 1 + x. \end{align*} \]
Donc \(e^x \geq 1 + x\). Ce résultat fournit une estimation simple et immédiate de la fonction exponentielle, sans avoir à effectuer des calculs compliqués.