La limite suivante est d'une importance fondamentale en analyse mathématique. Nous fournirons deux démonstrations : l'une basée sur le théorème de la comparaison (théorème des gendarmes), qui utilise une comparaison géométrique, et une autre par la série de Taylor, qui exploite le développement en série de la fonction sinus. La limite que nous souhaitons démontrer est la suivante :
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]
Démonstration par le théorème des gendarmes
Pour démontrer la limite, nous utilisons le théorème de la comparaison (théorème des gendarmes). Observons la figure :
Considérons le secteur circulaire de rayon \(1\) et d'angle \(x\) en radians. Comme on peut le voir dans la figure, nous pouvons comparer trois aires :
- Le triangle \( \triangle OBD \), de base \( \cos x \) et de hauteur \( \sin x \).
- Le secteur circulaire \( OBD \), dont l'aire est proportionnelle à \( x \).
Le secteur circulaire \( OBD \), dont l'aire est proportionnelle à \( x \), puisque l'aire d'un secteur circulaire se calcule comme \( \displaystyle \frac{1}{2} r^2 x \) et, dans le cas d'un rayon unitaire, devient \( \displaystyle \frac{x}{2} \).
- Le triangle \( \triangle OBC \), de base \(1\) et de hauteur \( \tan x \).
Ces trois régions obéissent à la relation :
\[ \text{Aire}(\triangle OBD) < \text{Aire}(OBC) < \text{Aire}(\triangle OBC) \]
En explicitant les aires, nous obtenons :
\[ \frac{1}{2} \cos x \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x \]
En multipliant tous les membres par \( \frac{2}{\sin x} \), on obtient :
\[ \cos x < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \]
Puisque nous savons que :
\[ \lim_{x\to 0} \cos x = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \]
par le théorème de la comparaison (théorème des gendarmes) nous pouvons conclure que :
\[ \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
Démonstration par la série de Taylor
Une autre méthode rigoureuse consiste à utiliser la série de Taylor de \( \sin(x) \) autour de \( x = 0 \) :
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5). \]
En divisant par \( x \) :
\[ \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \mathcal{O}(x^4). \]
En posant \( x \to 0 \), les termes d'ordre supérieur tendent vers zéro, et nous obtenons :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
Nous avons démontré que la limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
en utilisant à la fois le théorème de la comparaison et la série de Taylor. Ce résultat est fondamental en analyse et possède de nombreuses applications.
Exemple
Observons que dans l'argument du sinus apparaît \( ax \) au lieu de \( x \). Pour l'adapter à la limite remarquable, nous multiplions et divisons par \( a \) :
\[ \frac{\sin(ax)}{x} = a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}. \]
Désormais, le terme \( \displaystyle \frac{\sin(ax)}{ax} \) a la même structure que la limite remarquable.
Appliquons la limite remarquable
Puisque nous savons que :
\[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1, \]
nous pouvons substituer \( y = ax \), qui tend vers \( 0 \) lorsque \( x \to 0 \), obtenant :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1. \]
En multipliant par \( a \), nous obtenons le résultat final :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a \]
Exemple numérique
Considérons un cas spécifique : si \( a = 3 \), alors la limite devient :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}. \]
En appliquant la formule trouvée, nous obtenons :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \]