Nous voulons démontrer que :
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \]
- Démonstration avec les logarithmes et la règle de L'Hôpital
- Démonstration de la limite avec la série de Taylor
Démonstration avec les logarithmes et la règle de L'Hôpital
Définissons la fonction :
\[ y = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \]
Prenons le logarithme naturel :
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Nous étudions maintenant la limite :
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Appliquons la règle de L'Hôpital à la forme indéterminée \( \frac{0}{0} \) :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = 1 \]
Ainsi, \( \ln y \to 1 \), et donc \( y \to e \).
Démonstration de la limite avec la série de Taylor
Considérons la fonction :
\[ y = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \]
Prenons le logarithme naturel des deux côtés :
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Pour calculer la limite, utilisons le développement en série de Taylor du logarithme naturel autour de \( u = 0 \) :
\[ \ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots, \quad \text{lorsque } u \to 0 \]
Soit \( u = \frac{1}{x} \). En remplaçant dans le développement, nous obtenons :
\[ \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots \]
Multiplions les deux côtés par \( x \) :
\[ x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots \right) \]
En simplifiant les termes :
\[ x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x^2} - \dots \]
Lorsque \( x \to \infty \), tous les termes de la forme \( \frac{1}{x^n} \) avec \( n \geq 1 \) tendent vers 0. Ainsi, nous obtenons :
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = 1 \]
En élevant les deux côtés à \( e \), nous obtenons :
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e^1 = e \]