Nous voulons calculer la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
Dans cette démonstration, nous verrons deux méthodes principales pour calculer la limite en question. La première approche repose sur l’utilisation de la propriété bien connue de la limite, qui stipule que \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1\), appliquée de manière appropriée. La deuxième approche utilise les séries de Taylor pour approximer \(\sin(x)\) autour de \(x = 0\), ce qui nous permet d’obtenir le résultat de manière analytique. Voyons maintenant les deux démonstrations en détail.
Approche utilisant la propriété de la limite
Nous écrivons la limite comme :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin(bx)} \cdot \frac{a}{b} \right) \]
Nous utilisons la propriété \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1\), en l'appliquant à \(\sin(ax)\) et \(\sin(bx)\) :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} \frac{bx}{\sin(bx)} = 1 \]
La limite se simplifie donc en :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
Approche utilisant les séries de Taylor
La série de Taylor pour \(\sin(x)\) autour de \(x = 0\) est :
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \]
En utilisant cette expansion, nous pouvons écrire \(\sin(ax)\) et \(\sin(bx)\) comme :
\[ \sin(ax) = ax - \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5) \quad \text{et} \quad \sin(bx) = bx - \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5) \]
Considérons maintenant le rapport \(\displaystyle \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}\) :
\[ \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{ax - \displaystyle \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5)}{bx - \displaystyle \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5)} \]
Lorsque \(x \to 0\), les termes contenant \(x^2\) et d'ordre supérieur tendent vers zéro. Ainsi, la limite devient :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]