Dans cette démonstration, nous allons calculer la limite remarquable :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Pour démontrer cette limite, nous utiliserons le développement en série de Taylor autour du point \( x = 0 \) et la définition de la dérivée pour calculer la limite comme la dérivée de la fonction \( (1+x)^{\alpha} \) en \( x = 0 \).
Développement en série de Taylor
Commençons par la première approche, en utilisant la série de Taylor de la fonction \( (1+x)^{\alpha} \) autour du point \( x = 0 \).
La série de Taylor de \( (1+x)^{\alpha} \) est donnée par :
\[ (1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots \]
Nous allons maintenant remplacer ce développement dans l'expression de la limite :
\[ \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \frac{1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots - 1}{x} \]
En simplifiant :
\[ \frac{\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots}{x} = \alpha + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x + \dots \]
Lorsque \( x \to 0 \), tous les termes contenant \( x \) tendent vers zéro, laissant seulement :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Définition de la dérivée
Une autre façon de démontrer la limite est d'utiliser la définition de la dérivée. Considérons la fonction \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \). La dérivée de \( f(x) \) en \( x = 0 \) est définie par :
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}. \]
Dans notre cas, \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \), donc :
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - (1+0)^{\alpha}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - 1}{h}. \]
C'est exactement la forme de la limite que nous devons calculer ! La dérivée de la fonction \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \) est :
\[ f'(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1}. \]
Ainsi, en évaluant en \( x = 0 \) :
\[ f'(0) = \alpha (1+0)^{\alpha-1} = \alpha. \]
Par conséquent, nous avons :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Nous avons démontré la limite remarquable :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha, \] en utilisant à la fois le développement en série de Taylor et la définition de la dérivée.