Dans cette section, nous démontrerons la limite suivante :
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Nous utiliserons deux méthodes distinctes pour la démonstration : le Théorème de Comparaison, en utilisant des inégalités fondamentales du sinus, et le développement en série de Taylor de la fonction autour de \( x = 0 \).
Démonstration avec le Théorème de Comparaison
Utilisons les inégalités fondamentales du sinus :
\[ \sin x \leq x \]
D'où il suit que :
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x} \]
En multipliant par \( x \) :
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \]
De même, nous pouvons utiliser l'inégalité :
\[ \sin x \geq x - \frac{x^3}{6} \]
Ce qui conduit à :
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \geq 1 - \frac{1}{6x^2} \]
En appliquant le Théorème de Comparaison et en faisant tendre \( x \) vers l'infini, nous obtenons :
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Démonstration avec le Développement en Série de Taylor
Utilisons le développement en série de Taylor de la fonction sinus autour de zéro :
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5) \]
Posons \( x = \frac{1}{t} \), donc lorsque \( x \to \infty \), nous avons \( t \to 0 \), et nous remplaçons :
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right) \]
En multipliant par \( x \) :
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = x \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right)\right) \]
\[ = 1 - \frac{1}{6x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^4}\right) \]
En faisant tendre \( x \to \infty \), le terme \( \frac{1}{6x^2} \) tend vers zéro, donc :
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]