Pour démontrer la limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 \]
nous utiliserons deux méthodes : le développement en série de Taylor et la définition de la dérivée. Le développement en série nous permettra d'analyser le comportement de la fonction pour des valeurs petites de \( x \), tandis que la définition de la dérivée nous fournira une confirmation alternative.
Développement en Série de Taylor
Utilisons le développement en série de Taylor des fonctions exponentielles :
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
\[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
En soustrayant les deux expressions :
\[ e^x - e^{-x} = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^4) \]
En divisant par \(2x\) :
\[ \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^3) \]
Calcul de la Limite
En prenant la limite lorsque \(x\) tend vers zéro :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + 0 = 1 \]
Vérification avec la Définition de la Dérivée
Observons que la fonction au numérateur est précisément la définition de la dérivée de la fonction \( f(x) = e^x \) évaluée en \( x = 0 \) :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \]
Comme il est connu que \( \lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sinh x}{x} = 1 \), nous obtenons à nouveau le résultat.