Sur cette page, nous démontrerons la limite suivante :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \]
Nous explorerons trois méthodes distinctes pour obtenir ce résultat. En particulier, nous exploiterons la définition du sinus hyperbolique et une limite fondamentale de l’exponentielle, nous utiliserons le théorème de L'Hôpital, et enfin, nous ferons appel aux développements en séries de Taylor.
- Démonstration par la définition et les limites remarquables
- Démonstration avec le théorème de L'Hôpital
- Démonstration avec le développement en série de Taylor
Démonstration par la définition et les limites remarquables
Le sinus hyperbolique est défini par :
\[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]
En divisant par \( x \) :
\[ \frac{\sinh x}{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2x} \]
Nous pouvons réécrire le numérateur comme suit :
\[ e^x - e^{-x} = e^x - \frac{1}{e^x} \]
En multipliant numérateur et dénominateur par \( e^x \) :
\[ \frac{e^{2x} - 1}{2x e^x} \]
Nous utilisons la limite fondamentale :
\[ \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1, \quad \text{avec } y = 2x \]
Nous obtenons :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x e^x} = \frac{1}{e^0} = 1 \]
Démonstration avec le théorème de L'Hôpital
Nous observons que la limite présente une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \), nous pouvons donc appliquer le théorème de L'Hôpital.
Nous dérivons le numérateur et le dénominateur :
\[ \frac{d}{dx} (e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}, \quad \frac{d}{dx} (2x) = 2 \]
Ainsi :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 \]
Démonstration avec le développement en série de Taylor
Développons les fonctions exponentielles en série de Taylor autour de \( x = 0 \) :
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \] \[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
En faisant la différence :
\[ e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + O(x^5) \]
En divisant tout par 2 :
\[ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + O(x^5) \]
En divisant par \( x \) :
\[ \frac{\sinh x}{x} = 1 + \frac{x^2}{3!} + O(x^4) \]
En passant à la limite lorsque \( x \to 0 \), tous les termes contenant \( x \) s’annulent et nous obtenons :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \]