La projection d'un point sur une droite constitue l'un des concepts fondamentaux de la géométrie analytique. Étant donné un point \(P(x_0, y_0)\) et une droite \(r: ax + by + c = 0\), la projection orthogonale de \(P\) sur \(r\) est ce point \(H\) de la droite qui réalise la distance euclidienne minimale depuis \(P\). Géométriquement, \(H\) est le pied de la perpendiculaire menée de \(P\) à la droite \(r\).
Sommaire
- Définition
- Démonstration de la distance point–droite dans le plan
- Vecteur normal et droite perpendiculaire
- Coordonnées du pied de la perpendiculaire
- Méthode Alternative : Projection Vectorielle
- Exercices sur la Distance Point-Droite
Définition
Définition. La projection orthogonale du point \(P(x_0, y_0)\) sur la droite \(r: ax + by + c = 0\) est l'unique point \(H \in r\) tel que le vecteur \(\overrightarrow{PH}\) soit parallèle au vecteur normal \(\vec{n} = (a, b)\).
Cette caractérisation équivaut à exiger que \(H\) minimise la distance euclidienne \(|PQ|\) pour tous les points \(Q \in r\).
Démonstration de la distance point–droite dans le plan
Soit un point \( P(x_0, y_0) \) et une droite \( r: ax + by + c = 0 \). Nous voulons calculer la distance entre le point et la droite, c'est-à-dire :
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Vecteur normal et droite perpendiculaire
La droite \( r \) a pour vecteur normal \( \vec{n} = (a, b) \). Considérons la droite perpendiculaire à \( r \) qui passe par le point \( P(x_0, y_0) \). Ses équations paramétriques sont :
\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \]
Maintenant, nous imposons que le point de la droite perpendiculaire appartienne à \( r \). En substituant dans son équation :
\[ a(x_0 + at) + b(y_0 + bt) + c = 0 \]
\[ ax_0 + a^2t + by_0 + b^2t + c = 0 \Rightarrow (a^2 + b^2)t + (ax_0 + by_0 + c) = 0 \]
\[ t = -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
Coordonnées du pied de la perpendiculaire
En substituant \( t \) dans les équations paramétriques, nous obtenons les coordonnées du point \( H \) :
\[ x_H = x_0 - a \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \quad y_H = y_0 - b \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
La distance entre \( P \) et \( H \) est donnée par :
\[ d = \sqrt{(x_0 - x_H)^2 + (y_0 - y_H)^2} \]
Nous observons que :
\[ x_0 - x_H = \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2}, \quad y_0 - y_H = \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \]
Par conséquent :
\[ d = \sqrt{ \left( \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 + \left( \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 } \]
\[ = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Nous avons démontré la formule de la distance entre un point et une droite :
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Méthode Alternative : Projection Vectorielle
Considérons un point \( P(x_0, y_0) \) et une droite \( r: ax + by + c = 0 \). Soit \( Q(x_1, y_1) \) un point quelconque de la droite (par exemple, obtenu en résolvant \( r \) par rapport à \( y \)). Le vecteur qui joint \( P \) et \( Q \) est :
\[ \vec{PQ} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \]
Soit \( \vec{n} = (a, b) \) le vecteur normal à la droite. La distance entre le point \( P \) et la droite \( r \) est donnée par le module de la projection du vecteur \( \vec{PQ} \) sur le vecteur normal unitaire :
\[ d = \left| \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|} \right| \]
Développons le produit scalaire :
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) = ax_1 + by_1 - ax_0 - by_0 \]
Puisque \( Q \in r \), alors \( ax_1 + by_1 + c = 0 \), c'est-à-dire \( ax_1 + by_1 = -c \). Nous obtenons :
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = -c - ax_0 - by_0 = -(ax_0 + by_0 + c) \]
Finalement :
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
qui coïncide avec la formule obtenue par voie géométrique.
Exercices sur la Distance Point-Droite
Formule de la distance
Pour une droite sous forme générale \(ax + by + c = 0\) et un point \(P(x_0, y_0)\), la distance est :
\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
Exercice 1. Calculer la distance du point \(P(3, -2)\) à la droite \(r: 4x - 3y + 1 = 0\).
Solution. Données :
- Point : \(P(3, -2)\), donc \(x_0 = 3\) et \(y_0 = -2\)
- Droite : \(4x - 3y + 1 = 0\), donc \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 1\)
En appliquant la formule :
\[d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}\]
\[d = \frac{|12 + 6 + 1|}{\sqrt{16 + 9}}\]
\[d = \frac{|19|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{19}{5}\]
Exercice 2. Déterminer la distance du point \(A(-1, 5)\) à la droite \(s: 2x + y - 7 = 0\).
Solution : Données :
- Point : \(A(-1, 5)\), donc \(x_0 = -1\) et \(y_0 = 5\)
- Droite : \(2x + y - 7 = 0\), donc \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -7\)
En appliquant la formule :
\[d = \frac{|2 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 + (-7)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\]
\[d = \frac{|-2 + 5 - 7|}{\sqrt{4 + 1}}\]
\[d = \frac{|-4|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\]
Exercice 3. Trouver la distance du point \(B(0, 4)\) à la droite \(t: x - 2y + 3 = 0\).
Solution : Données :
- Point : \(B(0, 4)\), donc \(x_0 = 0\) et \(y_0 = 4\)
- Droite : \(x - 2y + 3 = 0\), donc \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\)
En appliquant la formule :
\[d = \frac{|1 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\]
\[d = \frac{|0 - 8 + 3|}{\sqrt{1 + 4}}\]
\[d = \frac{|-5|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\]
Exercice 4. Calculer la distance du point \(C(2, -3)\) à la droite \(u: 3x + 4y - 12 = 0\).
Solution : Données :
- Point : \(C(2, -3)\), donc \(x_0 = 2\) et \(y_0 = -3\)
- Droite : \(3x + 4y - 12 = 0\), donc \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -12\)
En appliquant la formule :
\[d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + (-12)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\]
\[d = \frac{|6 - 12 - 12|}{\sqrt{9 + 16}}\]
\[d = \frac{|-18|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{18}{5}\]
Exercice 5. Déterminer la distance du point \(D(-4, 1)\) à la droite \(v: 5x - 12y + 8 = 0\).
Solution : Données :
- Point : \(D(-4, 1)\), donc \(x_0 = -4\) et \(y_0 = 1\)
- Droite : \(5x - 12y + 8 = 0\), donc \(a = 5\), \(b = -12\), \(c = 8\)
En appliquant la formule :
\[d = \frac{|5 \cdot (-4) + (-12) \cdot 1 + 8|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}\]
\[d = \frac{|-20 - 12 + 8|}{\sqrt{25 + 144}}\]
\[d = \frac{|-24|}{\sqrt{169}}\]
\[d = \frac{24}{13}\]