Le théorème de conservation du signe pour les suites énonce que si une suite réelle \( a_n \) converge vers une limite \( L \neq 0 \), il existe un rang \( N \) au-delà duquel tous les termes de la suite ont le même signe que \( L \). Autrement dit :
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L > 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n > 0 \]
Si au contraire \( L < 0 \), alors :
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L < 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n < 0 \]
Par définition, la limite de \( a_n \) est \( L \) si et seulement si :
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, |a_n - L| < \epsilon \]
En particulier, en choisissant \( \epsilon = \displaystyle \frac{|L|}{2} \), nous obtenons l'inégalité :
\[ L - \frac{|L|}{2} < a_n < L + \frac{|L|}{2} \]
Maintenant, observons les cas suivants :
- Si \( L > 0 \), alors :
\[ \frac{|L|}{2} < a_n < \frac{3|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
- Si \( L < 0 \), c'est-à-dire \( L = -|L| \), alors :
\[ -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
Dans les deux cas, pour \( n \geq N \), les termes de la suite \( a_n \) auront le même signe que \( L \).
Exercice 1 : Considérons la suite \( \displaystyle a_n = \frac{1}{n} \). Calculons la limite de \( a_n \) quand \( n \to \infty \) :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Bien que la suite tende vers 0, nous ne pouvons pas appliquer le théorème de conservation du signe puisque la limite est nulle.
Exercice 2 : Considérons la suite \( \displaystyle a_n = \frac{3}{n} - 2 \). Calculons la limite de \( a_n \) quand \( n \to \infty \) :
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} - 2 \right) = -2 \]
Choisissons \( \epsilon = 1 \). Nous devons trouver un rang \( N \) tel que pour tout \( n \geq N \), on ait \( |a_n + 2| < 1 \). Dans ce cas, \( \displaystyle |a_n + 2| = \left| \frac{3}{n} \right| \).
Nous voulons que \( \displaystyle \frac{3}{n} < 1 \), ce qui est satisfait pour \( n > 3 \). Par conséquent, pour tout \( n \geq 4 \), \( a_n \) est négatif et tend vers \( -2 \), conservant le signe négatif pour tous les \( n \geq 4 \).
Exercice 3 : Considérons la suite \( \displaystyle a_n = \frac{5}{n} + 1 \). Calculons la limite de \( a_n \) quand \( n \to \infty \) :
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} + 1 \right) = 1 \]
Choisissons \( \displaystyle \epsilon = \frac{1}{2} \). Nous devons trouver un rang \( N \) tel que pour tout \( n \geq N \) on ait
\[ |a_n - 1| < \frac{1}{2} \]
Dans ce cas, \( |a_n - 1| = \displaystyle \left| \frac{5}{n} \right| \).
Nous voulons que \( \displaystyle \frac{5}{n} < \frac{1}{2} \), ce qui est satisfait pour \( n > 10 \). Par conséquent, pour tout \( n \geq 11 \), \( a_n \) est positif et tend vers \( 1 \), conservant le signe positif pour tous les \( n \geq 11 \).