Soit \( a \neq 0 \) et soit \( n \in \mathbb{N} \). La puissance \( n \)-ième de \( a \), notée par le symbole \( a^n \), est définie comme le produit de \( a \) par lui-même \( n \) fois. Mathématiquement, ce produit s'exprime ainsi :
\[ a^n := \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}} \]
Le nombre \( a \) est appelé base de la puissance, \( n \) est l'exposant de la puissance.
Sommaire
- Propriétés des Puissances
- Puissance d'Exposant Zéro
- Puissances d'Exposant Négatif
- Puissances d'Exposant Fractionnaire
- Exercices sur les Propriétés des Puissances
Propriétés des Puissances
Soient \( a \) et \( b \) des nombres réels différents de zéro, et soient \( m \) et \( n \) des nombres entiers. Les puissances jouissent des propriétés fondamentales suivantes :
Produit de puissances de même base :
Le produit de deux puissances de même base est une puissance qui a pour base la même base et pour exposant la somme des exposants :
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Par définition :
\[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ fois}} \quad , \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}} \]
Donc, en multipliant les deux puissances :
\[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ fois}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m+n \text{ fois}} = a^{m+n} \]
Division de puissances de même base :
Le résultat de la division de deux puissances de même base est une puissance qui a pour base la même base et pour exposant la différence des exposants.
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{avec } a \neq 0 \]
Par définition :
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ fois}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{(m-n) \text{ fois}} = a^{m-n}. \]
Puissance d'une puissance :
La puissance d'une puissance est une puissance qui a pour base la même base et pour exposant le produit des exposants :
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
Par définition :
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ fois}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{m \cdot n \text{ fois}} = a^{m \cdot n}. \]
Produit de puissances de bases différentes mais même exposant :
La puissance d'un produit est le produit des puissances des facteurs individuels :
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Par définition :
\[ (a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ fois}} = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ fois}}) = a^n \cdot b^n. \]
Quotient de puissances de bases différentes mais même exposant :
La puissance d'un quotient est le quotient des puissances du numérateur et du dénominateur :
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{avec } b \neq 0 \]
Par définition :
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ fois}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ fois}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Puissance d'Exposant Zéro
Lorsque nous étendons une définition (dans ce cas les puissances) à de nouveaux cas (comme l'exposant zéro), nous voulons que les propriétés déjà valides dans les cas connus continuent à être valides également dans les nouveaux cas.
Pour \(a \neq 0\) et pour des exposants positifs, nous savons que la propriété fondamentale est valide :
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Considérons un nombre naturel quelconque \(n\). Par la propriété des puissances, il doit être valide que :
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 \]
Mais nous savons aussi que :
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^n \cdot \frac{1}{a^n} = 1 \]
Donc, par la propriété transitive \( a^0 = 1 \).
Cette définition maintient cohérentes toutes les propriétés des puissances. Par exemple :
\[ a^m \cdot a^0 = a^m \cdot 1 = a^m = a^{m+0} \]
\[ \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 = 1 \]
La définition \(a^0 = 1\) n'est pas arbitraire, mais elle est la