Soit \( a \neq 0 \) et soit \( n \in \mathbb{N} \). La puissance \( n \)-ième de \( a \), notée par le symbole \( a^n \), est définie comme le produit de \( a \) par lui-même \( n \) fois. En formules, ce produit s'exprime comme :
\[ a^n := \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}} \]
Le nombre \( a \) est appelé base de la puissance, \( n \) est l'exposant de la puissance.
Sommaire
- Propriétés des Puissances
- Puissance à Exposant Zéro
- Puissances à Exposant Négatif
- Puissances à Exposant Fractionnaire
- Exercices sur les Propriétés des Puissances
Propriétés des Puissances
Soient \( a \) et \( b \) des nombres réels non nuls, et soient \( m \) et \( n \) des nombres entiers. Les puissances jouissent des propriétés fondamentales suivantes :
Produit de puissances de même base :
Le produit de deux puissances de même base est une puissance qui a pour base la même base et pour exposant la somme des exposants :
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Par définition :
\[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ fois}} \quad , \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}} \]
Donc, en multipliant les deux puissances :
\[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ fois}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m+n \text{ fois}} = a^{m+n} \]
Division de puissances de même base :
Le résultat de la division de deux puissances de même base est une puissance qui a pour base la même base et pour exposant la différence des exposants.
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{avec } a \neq 0 \]
Par définition :
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ fois}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{(m-n) \text{ fois}} = a^{m-n}. \]
Puissance d'une puissance :
La puissance d'une puissance est une puissance qui a pour base la même base et pour exposant le produit des exposants :
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
Par définition :
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ fois}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{m \cdot n \text{ fois}} = a^{m \cdot n}. \]
Produit de puissances de bases différentes mais même exposant :
La puissance d'un produit est le produit des puissances des facteurs individuels :
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Par définition :
\[ (a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ fois}} = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ fois}}) = a^n \cdot b^n. \]
Quotient de puissances de bases différentes mais même exposant :
La puissance d'un quotient est le quotient des puissances du numérateur et du dénominateur :
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{avec } b \neq 0 \]
Par définition :
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ fois}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ fois}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Puissance à Exposant Zéro
Lorsque nous étendons une définition (dans ce cas les puissances) à de nouveaux cas (comme l'exposant zéro), nous voulons que les propriétés déjà valides dans les cas connus continuent à être valables dans les nouveaux cas également.
Pour \(a \neq 0\) et pour des exposants positifs, nous savons que la propriété fondamentale suivante est valable :
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Considérons un nombre naturel quelconque \(n\). Par la propriété des puissances, il doit être valable que :
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 \]
Mais nous savons aussi que :
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^n \cdot \frac{1}{a^n} = 1 \]
Donc, par la propriété transitive \( a^0 = 1 \).
Cette définition maintient la cohérence de toutes les propriétés des puissances. Par exemple :
\[ a^m \cdot a^0 = a^m \cdot 1 = a^m = a^{m+0} \]
\[ \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 = 1 \]
La définition \(a^0 = 1\) n'est pas arbitraire, mais c'est la seule qui garantit la cohérence des règles algébriques des puissances.
Puissances à Exposant Négatif
Un nombre élevé à un exposant négatif est égal à l'inverse de la puissance à exposant positif :
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{avec } a \neq 0 \]
Cette définition découle de la nécessité de maintenir la cohérence avec la propriété de division des puissances. Si nous voulons que \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) soit toujours valable, alors pour \(m < n\) nous obtenons un exposant négatif au résultat.
Par définition de division :
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} = \frac{1}{a^{-(m-n)}} = a^{-(n-m)} = a^{m-n} \]
Cette définition garantit que toutes les propriétés des puissances s'étendent de manière cohérente aux exposants négatifs. Par exemple :
\[ a^m \cdot a^{-n} = a^m \cdot \frac{1}{a^n} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} = a^{m+(-n)} \]
Puissances à Exposant Fractionnaire
Pour étendre la définition de puissance aux exposants fractionnaires, nous devons maintenir la cohérence avec les propriétés déjà établies pour les exposants entiers.
Par définition, l'expression \(a^{\frac{n}{m}}\) indique la racine \(m\)-ième de \(a^n\), c'est-à-dire :
\[ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \quad \text{avec } a \geq 0, \, m > 0 \]
Cette définition peut être écrite de manière équivalente comme :
\[ a^{\frac{n}{m}} = (\sqrt[m]{a})^n \]
La définition n'est pas arbitraire mais découle de la nécessité de préserver la propriété fondamentale des puissances. Si nous voulons que \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\) continue à être valable, alors pour l'exposant \(\frac{1}{m}\) il doit nécessairement être valable que :
\[ (a^{\frac{1}{m}})^m = a^{\frac{1}{m} \cdot m} = a^1 = a \]
Cela signifie que \(a^{\frac{1}{m}}\) est ce nombre qui, élevé à la puissance \(m\), restitue \(a\). Par définition de racine, c'est exactement \(\sqrt[m]{a}\).
Toutes les propriétés des puissances s'étendent naturellement aux exposants fractionnaires :
\[ a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} + \frac{r}{s}} = a^{\frac{ps + qr}{qs}} \]
La définition garantit que la propriété générale des puissances soit respectée et maintient la cohérence de toute la structure algébrique.
Exercices sur les Propriétés des Puissances
Exercice 1. Simplifiez : \( a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 \)
Solution. Nous appliquons la propriété du produit de puissances de même base, en sommant les exposants :
\begin{align} a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 &= a^{5+3} \cdot b^{2+4} \\ &= a^8 \cdot b^6 \end{align}
Résultat : \( a^8 \cdot b^6 \).
Exercice 2. Simplifiez \( (a^3 \cdot b^2)^4 \).
Solution. Nous appliquons la propriété des puissances au produit, en élevant chaque facteur au nouvel exposant :
\[ \begin{align*} (a^3 \cdot b^2)^4 &= (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 \\ &= a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} \\ &= a^{12} \cdot b^8 \end{align*} \]
Résultat : \( a^{12} \cdot b^8 \).
Exercice 3. Simplifiez :
\[ \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} \]
Solution. Nous utilisons la propriété de division de puissances de même base, en soustrayant les exposants :
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} &= \frac{a^6}{a^2} \cdot \frac{b^8}{b^3} \\ &= a^{6-2} \cdot b^{8-3} \\ &= a^4 \cdot b^5 \end{align}
Résultat : \( a^4 \cdot b^5 \).
Exercice 4. Simplifiez :
\[ \left(\frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2}\right)^2 \]
Solution. Nous commençons par simplifier les termes entre parenthèses, puis nous appliquons la puissance au résultat :
\[ \begin{align} \frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2} &= \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^5}{b^2} \\ &= a^{3-1} \cdot b^{5-2} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align} \]
Maintenant, nous appliquons la puissance au résultat simplifié :
\[ \begin{align} \left(a^2 \cdot b^3\right)^2 &= (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \\ &= a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \\ &= a^4 \cdot b^6 \end{align} \]
Résultat : \( a^4 \cdot b^6 \).
Exercice 5. Simplifiez :
\[ \frac{(a^3 \cdot b^2)^2 \cdot b^4}{a^4 \cdot b^5} \]
Solution. Nous commençons par calculer la puissance du numérateur :
\[ \begin{align} (a^3 \cdot b^2)^2 &= (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \\ &= a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} \\ &= a^6 \cdot b^4 \end{align} \]
Nous ajoutons le terme \( b^4 \) au numérateur :
\begin{align} a^6 \cdot b^4 \cdot b^4 &= a^6 \cdot b^{4+4} \\ &= a^6 \cdot b^8 \end{align}
Maintenant nous simplifions le quotient :
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^4 \cdot b^5} &= \frac{a^6}{a^4} \cdot \frac{b^8}{b^5} \\ &= a^{6-4} \cdot b^{8-5} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align}
Résultat : \( a^2 \cdot b^3 \).