Les fonctions paires et fonctions impaires se distinguent par leurs symétries : une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis qu’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. Nous étudierons également le comportement de la somme de fonctions : la somme de deux fonctions paires est encore une fonction paire, de même que la somme de deux fonctions impaires est encore impaire. Enfin, nous verrons comment décomposer une fonction en sa partie paire et sa partie impaire.
- Fonctions paires
- Somme de deux fonctions paires
- Fonctions impaires
- Somme de deux fonctions impaires
- Fonctions ni paires ni impaires
- Intégration sur des intervalles symétriques
- Décomposition d’une fonction en partie paire et partie impaire
- Démonstration de l’unicité de la décomposition
Fonctions paires
Définition. Une fonction \( f : X \to Y \) est dite paire si :
\[ \forall x \in X, \quad -x \in X \quad \text{et} \quad f(-x) = f(x) \]
Autrement dit, une fonction est paire si son domaine est symétrique par rapport à l’origine et si elle prend la même valeur en \( x \) et en \( -x \).
Exemple. La fonction \( f(x) = x^2 \) est paire, car pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a \( (-x)^2 = x^2 \).
Exemple. La fonction \( f(x) = \cos(x) \) est paire car \( \cos(-x) = \cos(x) \).
Exemple. La fonction \( f(x) = \cosh(x) \) est paire car \( \cosh(-x) = \cosh(x) \).
Exemple. La fonction \( f(x) = e^{-x^2} \) est paire car \( e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} \).
Somme de deux fonctions paires
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions paires définies respectivement sur \( D_f \) et \( D_g \). La fonction somme \( f + g \), définie sur le domaine \( D = D_f \cap D_g \), est également paire.
En effet, comme \( D_f \) et \( D_g \) sont symétriques, leur intersection \( D \) l’est aussi. Pour tout \( x \in D \), on a :
\[ (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) \]
donc \( f + g \) est paire. Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui permet d’étudier la fonction uniquement sur \( x \geq 0 \).
Fonctions impaires
Définition. Une fonction \( f : X \to Y \) est dite impaire si :
\[ \forall x \in X, \quad -x \in X \quad \text{et} \quad f(-x) = -f(x) \]
Autrement dit, la fonction est impaire si son domaine est symétrique et si elle prend des valeurs opposées en \( x \) et en \( -x \).
Exemple. La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est impaire car \( \sin(-x) = -\sin(x) \).
Exemple. La fonction \( f(x) = x^3 \) est impaire car \( (-x)^3 = -x^3 \).
Une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine : une rotation de 180° de son graphe autour de l’origine laisse le graphe invariant.
Somme de deux fonctions impaires
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions impaires, définies respectivement sur \( D_f \) et \( D_g \). Leur somme \( f + g \), définie sur \( D = D_f \cap D_g \), est également impaire.
En effet :
\[ (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x) \]
Fonctions ni paires ni impaires
Si une fonction ne satisfait ni \( f(-x) = f(x) \), ni \( f(-x) = -f(x) \), alors elle n’est ni paire ni impaire.
Exemple. Les fonctions \( f(x) = e^x \) et \( f(x) = x + 1 \) ne sont ni paires ni impaires.
Intégration sur des intervalles symétriques
Les fonctions paires et impaires sont particulièrement utiles pour le calcul d’intégrales définies sur des intervalles symétriques par rapport à l’origine.
Si \( f \) est paire, alors :
\[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \]
Si \( f \) est impaire, alors :
\[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \]
Décomposition d’une fonction en partie paire et partie impaire
Soit \( f : X \to \mathbb{R} \) une fonction définie sur un ensemble symétrique. Alors, on peut écrire \( f \) de manière unique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire :
\[ f_p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad \text{(partie paire)} \]
\[ f_i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \quad \text{(partie impaire)} \]
On vérifie immédiatement que \( f_p \) est paire et \( f_i \) est impaire, et que :
\[ f(x) = f_p(x) + f_i(x) \]
Exemple. Pour \( f(x) = e^x \), on a :
\[ f_p(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x), \quad f_i(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh(x) \]
donc \( e^x = \cosh(x) + \sinh(x) \).
Remarque : Cette décomposition est possible uniquement si le domaine de définition est symétrique par rapport à l’origine, et elle est unique.
Démonstration de l’unicité de la décomposition
Supposons que \( f = f_p + f_i = g_p + g_i \), où \( f_p, g_p \) sont paires et \( f_i, g_i \) sont impaires.
En posant \( h = f_p - g_p = g_i - f_i \), on voit que \( h \) est à la fois paire et impaire, donc :
\[ h(x) = h(-x) \quad \text{et} \quad h(x) = -h(-x) \Rightarrow h(x) = -h(x) \Rightarrow h(x) = 0 \]
D’où \( f_p = g_p \) et \( f_i = g_i \), ce qui prouve l’unicité de la décomposition.