Voyons comment calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus, en utilisant la limite du quotient différentiel et les identités trigonométriques fondamentales. Nous démontrons étape par étape que la dérivée de \( \sin(x) \) est \( \cos(x) \) et que celle de \( \cos(x) \) est \( -\sin(x) \), en justifiant chaque étape de manière claire et formelle.
Sommaire
Dérivée de la Fonction Sinus
Calculons la dérivée de la fonction \( f(x) = \sin(x) \) comme la limite du quotient différentiel :
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x_0 + h) - \sin(x_0)}{h} \]
Utilisons l'identité trigonométrique pour la différence de sinus :
\[ \sin(x_0 + h) - \sin(x_0) = 2 \sin\left(\frac{h}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \]
En substituant cette identité dans le quotient différentiel, nous obtenons :
\begin{align} \frac{\sin(x_0 + h) - \sin(x_0)}{h} &= \frac{2 \sin\left(\frac{h}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \end{align}
Nous savons que :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{h \to 0} \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) = \cos(x_0). \]
Donc :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x_0 + h) - \sin(x_0)}{h} = \cos(x_0) \]
La dérivée de la fonction \( \sin(x) \) est donc :
\[ f'(x) = \cos(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Dérivée de la Fonction Cosinus
Calculons maintenant la dérivée de la fonction \( g(x) = \cos(x) \) comme la limite du quotient différentiel :
\[ g'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos(x_0)}{h} \]
Utilisons l'identité trigonométrique pour la différence de cosinus :
\[ \cos(x_0 + h) - \cos(x_0) = -2 \sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]
En substituant cette identité dans le quotient différentiel, nous obtenons :
\begin{align} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos(x_0)}{h} &= \frac{-2 \sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \frac{-\sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\end{align}
Nous savons que :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{h \to 0} \sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) = \sin(x_0). \]
Donc :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos(x_0)}{h} = -\sin(x_0) \]
La dérivée de la fonction \( g(x) = \cos(x) \) est donc :
\[ g'(x) = -\sin(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]