Le Théorème de Weierstrass énonce qu'une fonction continue définie sur un intervalle fermé et borné atteint nécessairement une valeur maximale et une valeur minimale.
Sommaire
Théorème de Weierstrass
Soit \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) une fonction continue sur un intervalle fermé et borné \( [a,b] \subseteq \mathbb{R} \). Alors \( f \) est bornée et atteint son maximum et son minimum absolus sur \( [a,b] \).
Démonstration. Considérons l'ensemble des valeurs prises par la fonction \( f \) sur \( [a,b] \), que nous notons \( f([a,b]) \). Puisque \( f \) est continue sur \( [a,b] \), l'image de \( f \) est fermée. De plus, \( [a,b] \) étant un intervalle fermé et borné, \( f([a,b]) \) est également un ensemble borné.
Nous définissons :
\[ M = \sup f([a,b]) \quad \text{et} \quad m = \inf f([a,b]). \]
Notre objectif est de montrer qu'il existe des points \( x_M, x_m \in [a,b] \) tels que : \[ f(x_M) = M \quad \text{et} \quad f(x_m) = m. \]
Existence du maximum
Par la définition de \( M \) comme borne supérieure, il existe une suite de valeurs \( \{ y_n \} \subseteq f([a,b]) \) telle que \( y_n \to M \). Ceci implique qu'il existe une suite de points \( \{ x_n \} \subseteq [a,b] \) pour laquelle : \[ f(x_n) = y_n \to M. \] La suite \( \{ x_n \} \) est contenue dans l'intervalle compact \( [a,b] \), donc, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite \( \{ x_{n_k} \} \) convergente vers un point \( x \in [a,b] \).
Par la continuité de \( f \), on a : \[ f(x_{n_k}) \to f(x). \] Mais puisque \( f(x_{n_k}) \to M \), il s'ensuit que : \[ f(x) = M. \] Par conséquent, il existe au moins un point \( x_M \in [a,b] \) tel que \( f(x_M) = M \).
Existence du minimum
Nous démontrons maintenant l'existence du minimum avec la même procédure. Par la définition de \( m \) comme borne inférieure, il existe une suite \( \{ z_n \} \subseteq f([a,b]) \) telle que \( z_n \to m \). Donc il existe une suite de points \( \{ w_n \} \subseteq [a,b] \) pour laquelle : \[ f(w_n) = z_n \to m. \] Dans ce cas également, la suite \( \{ w_n \} \) est contenue dans \( [a,b] \). En appliquant à nouveau le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite \( \{ w_{n_k} \} \) qui converge vers un point \( x' \in [a,b] \).
Par la continuité de \( f \), on a : \[ f(w_{n_k}) \to f(x'). \] Puisque \( f(w_{n_k}) \to m \), il s'ensuit que : \[ f(x') = m. \] Par conséquent, il existe un point \( x_m \in [a,b] \) tel que \( f(x_m) = m \).
Nous avons démontré que la fonction continue \( f \) définie sur un intervalle fermé et borné \( [a,b] \) est bornée et atteint ses valeurs maximale et minimale en au moins un point de \( [a,b] \).