Les suites monotones (qu'elles soient croissantes ou décroissantes) possèdent une propriété très importante : elles admettent toujours une limite, qu'elle soit finie ou infinie. Ce résultat, connu sous le nom de théorème de la limite d'une suite monotone, nous indique précisément qu'une suite croissante converge vers sa borne supérieure, tandis qu'une suite décroissante converge vers sa borne inférieure.
Sommaire
Théorème (limite d'une suite monotone). Soit \( \{ a_n \} \) une suite monotone. Alors elle admet une limite et l'on a
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{cases} \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty \} & \text{si } \{ a_n \} \text{ est croissante,} \\[1mm] \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} & \text{si } \{ a_n \} \text{ est décroissante.} \end{cases} \]
Démonstration pour \( a_n \) croissante
Démonstration (pour \( \{ a_n \} \) croissante). Soit \( S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \). Par définition du supremum :
\[\forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad a_n \leq S\]
\[\forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad S - \varepsilon < a_k\]
Puisque la suite est croissante, pour tout \( n \geq k \) nous avons :
\[ S - \varepsilon < a_k \leq a_n \leq S \]
Ainsi :
\[ |a_n - S| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Par conséquent, \(\lim_{n \to \infty} a_n = S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Si, en revanche, \( S = +\infty \), alors \(\{a_n\}\) n'a pas de majorants et donc
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu > M;\]
en raison de la croissance de \(\{a_n\}\), il s'ensuit que
\[ a_n \geq a_\nu > M \quad \forall n \geq \nu \]
c'est-à-dire \(a_n \to +\infty\) lorsque \( n \to +\infty \).
Démonstration pour \( a_n \) décroissante
Démonstration (pour \( \{ a_n \} \) décroissante). Soit \( L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \). Par définition de l'infimum :
\[\forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_n\]
\[\forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_k < L + \varepsilon\]
Puisque la suite est décroissante, pour tout \( n \geq k \) nous avons :
\[ L \leq a_n \leq a_k < L + \varepsilon \]
Ainsi :
\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Par conséquent, \(\lim_{n \to \infty} a_n = L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Si, en revanche, \( L = -\infty \), alors \(\{a_n\}\) n'a pas de minorants et donc
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu < -M;\]
en raison de la décroissance de \(\{a_n\}\), il s'ensuit que
\[ a_n \leq a_\nu < -M \quad \forall n \geq \nu \]
c'est-à-dire \(a_n \to -\infty\) lorsque \( n \to +\infty \).
Dans les deux cas, nous avons démontré que la limite existe et qu'elle est égale au supremum dans le cas d'une suite croissante et à l'infimum dans le cas d'une suite décroissante.