Les suites monotones (qu'elles soient croissantes ou décroissantes) jouissent d'une propriété très importante : elles admettent toujours une limite, finie ou infinie. Ce résultat, connu sous le nom de théorème de la limite d'une suite monotone, nous dit précisément qu'une suite croissante tend vers sa borne supérieure, tandis qu'une suite décroissante tend vers sa borne inférieure.
Sommaire
Théorème (limite d'une suite monotone). Soit \( \{ a_n \}\) une suite monotone. Alors elle admet une limite et l'on a
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{cases} \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ +\infty \} &\text{si} \ \{ a_n \} \ \text{est croissante,} \\ \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ -\infty \} &\text{si} \ \{ a_n \} \ \text{est décroissante.} \end{cases} \]
Démonstration pour \( a_n \) Croissante
Démonstration (\( \{ a_n \} \) croissante). Soit \(S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Par définition de la borne supérieure :
\[\forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad a_n \leq S\]
\[\forall \varepsilon > 0\ \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad S - \varepsilon < a_k\]
Puisque la suite est croissante, pour tout \(n \geq k\) nous avons :
\[S - \varepsilon < a_k \leq a_n \leq S\]
Donc :
\[ |a_n - S| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Par conséquent, \(\lim_{n \to \infty} a_n = S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Si au contraire \(S = +\infty\), alors \(\{a_n\}\) n'admet pas de majorant et donc
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu > M;\]
par la croissance de \(\{a_n\}\) il s'ensuit que
\[a_n \geq a_\nu > M \quad \forall n \geq \nu \]
c'est-à-dire \(a_n \to +\infty\) lorsque \(n \to +\infty\).
Démonstration pour \( a_n \) Décroissante
Démonstration (\( \{ a_n \} \) décroissante). Soit \(L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Par définition de la borne inférieure :
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_n \]
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_k < L + \varepsilon \]
Puisque la suite est décroissante, pour tout \(n \geq k\) nous avons :
\[ L \leq a_n \leq a_k < L + \varepsilon \]
Donc :
\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Par conséquent, \(\lim_{n \to \infty} a_n = L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Si au contraire \(L = -\infty\), alors \(\{a_n\}\) n'admet pas de minorant et donc
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu < -M;\]
par la décroissance de \(\{a_n\}\) il s'ensuit que
\[a_n \leq a_\nu < -M \quad \forall n \geq \nu \]
c'est-à-dire \(a_n \to -\infty\) lorsque \(n \to +\infty\).
Dans les deux cas, nous avons démontré que la limite existe et est égale à la borne supérieure dans le cas croissant et à la borne inférieure dans le cas décroissant.