Les suites numériques et les limites de suites sont des concepts fondamentaux en analyse mathématique. Comprendre le comportement d'une suite lorsque \( n \to \pm \infty \) est crucial pour déterminer si une suite \( a_n \) est convergente, divergente ou irrégulière.
Table des matières
- Suite Convergente
- Suite Divergente vers \(+\infty\)
- Suite Divergente vers \(-\infty\)
- Suite Irrégulière
Suite Convergente
On dit qu'une suite \( a_n \) converge vers \( L \) si la valeur absolue de la différence entre \( a_n \) et \( L \) peut être rendue arbitrairement petite pour \( n \) suffisamment grand.
Autrement dit, nous dirons que \( a_n \) tend vers \( L \) lorsque \( n \to \infty \) si, pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe un \( n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \) tel que, pour tout \( n \ge n_{\varepsilon} \), la valeur absolue \(|a_n - L|\) est inférieure à \( \varepsilon \). Plus formellement :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \, : \, |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \ge n_{\varepsilon} \]
Exemple : Considérons la suite \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \). Montrons que \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).
Pour démontrer la convergence, nous utilisons la définition de la limite. Nous devons vérifier que, pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe un \( n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \) tel que, pour tout \( n \ge n_{\varepsilon} \), on ait :
\[ |a_n - 0| = \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
D'où il suit :
\[ \frac{1}{n} < \varepsilon \implies n > \frac{1}{\varepsilon} \]
Ainsi, nous choisissons \( n_{\varepsilon} = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil \) (la partie entière supérieure). Pour tout \( n \ge n_{\varepsilon} \), on a :
\[ \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Cela démontre que :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]
La démonstration découle directement de la définition formelle de la limite et montre comment appliquer correctement le concept de convergence. Cette approche sera par la suite fondamentale pour démontrer la convergence de suites plus complexes.
Suite Divergente vers \(+\infty\)
Une suite \( a_n \) est dite divergente vers \(+\infty\) si ses termes peuvent être rendus arbitrairement grands pour \( n \) suffisamment grand.
Autrement dit, nous dirons que \( a_n \) tend vers \(+\infty\) lorsque \( n \to \infty \) si, pour tout \( M > 0 \), il existe un \( n_M \in \mathbb{N} \) tel que, pour tout \( n \ge n_M \), on ait \( a_n > M \). Plus formellement :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0 \,\, \exists n_M \in \mathbb{N} \, : \, a_n > M \quad \forall n \ge n_M \]
Exemple : Considérons la suite \( a_n = 2n \). Pour démontrer qu'elle diverge vers \(+\infty\), prenons un nombre arbitraire \( M > 0 \). Nous devons trouver un indice \( n_M \) tel que, pour tout \( n > n_M \), on ait \( a_n > M \).
Prenons \( n_M = \left\lceil \frac{M}{2} \right\rceil \). Si \( n > n_M \), alors :
\[ a_n = 2n > 2\left(\frac{M}{2}\right) = M \]
Ainsi, nous avons démontré que pour tout \( M > 0 \), il existe \( n_M = \left\lceil \frac{M}{2} \right\rceil \) tel que \( a_n > M \) pour tout \( n > n_M \).
Suite Divergente vers \(-\infty\)
Une suite \( a_n \) est dite divergente vers \(-\infty\) si ses termes peuvent être rendus arbitrairement petits (négatifs) pour \( n \) suffisamment grand.
Autrement dit, nous dirons que \( a_n \) tend vers \(-\infty\) lorsque \( n \to \infty \) si, pour tout \( M > 0 \), il existe un \( n_M \in \mathbb{N} \) tel que, pour tout \( n \ge n_M \), on ait \( a_n < -M \). Plus formellement :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0 \,\, \exists n_M \in \mathbb{N} \, : \, a_n < -M \quad \forall n \ge n_M \]
Exemple : Considérons la suite \( b_n = -3n \).
Pour démontrer qu'elle diverge vers \(-\infty\), prenons un nombre arbitraire \( M > 0 \). Nous devons trouver un indice \( n_M \) tel que, pour tout \( n > n_M \), on ait \( b_n < -M \).
Prenons \( n_M = \left\lceil \frac{M}{3} \right\rceil \). Si \( n > n_M \), alors :
\[ b_n = -3n < -3\left(\frac{M}{3}\right) = -M \]
Ainsi, nous avons démontré que pour tout \( M > 0 \), il existe \( n_M = \left\lceil \frac{M}{3} \right\rceil \) tel que \( b_n < -M \) pour tout \( n > n_M \).
Suite Irrégulière
Une suite \( a_n \) est dite irrégulière si elle n'est ni convergente ni divergente vers \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Exemple : Considérons la suite :
\[ a_n = (-1)^n, \quad n \in \mathbb{N} \]
Cette suite n'est ni convergente ni divergente. On observe qu'elle est bornée car :
\[ -1 \le (-1)^n \le 1, \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Supposons par l'absurde qu'elle converge vers une limite \( L \) :
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^n = L \]
Alors, il en résulterait également que :
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = L \]
Or, \( (-1)^{2n} = 1 \) pour tout \( n \), donc \( L = 1 \).
Par définition de la limite, il devrait exister un \( n_{\varepsilon} \) tel que :
\[ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} : |(-1)^n - 1| < \varepsilon, \quad \forall n > n_{\varepsilon} \]
Cependant, pour un \( n \) impair supérieur à \( n_{\varepsilon} \) :
\[ |(-1)^n - 1| = |-1 - 1| = 2 \]
Ceci est impossible pour un \( \varepsilon \) arbitrairement petit, donc la suite ne peut converger. Elle n'est pas non plus divergente car elle est bornée.