Les suites numériques et les limites de suites sont des concepts fondamentaux en analyse mathématique. Comprendre le comportement d'une suite lorsque \(n \to \pm \infty\) est crucial pour déterminer si une suite \( a_n \) est convergente, divergente ou irrégulière.
Sommaire
- Définition de Suite Convergente
- Définition de Suite Divergente vers \(+\infty\)
- Définition de Suite Divergente vers \(-\infty\)
- Définition de Suite Irrégulière
Définition de Suite Convergente
Une suite \( a_n \) est dite convergente vers \( L \) si la valeur absolue de la différence entre \( a_n \) et \( L \) peut être rendue arbitrairement petite pour \( n \) suffisamment grand. Intuitivement, les termes de la suite se rapprochent indéfiniment de la valeur limite \( L \). Plus formellement :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_{\varepsilon} \quad |a_n - L| < \varepsilon \]
Géométriquement, cela signifie que pour tout intervalle \((L - \varepsilon, L + \varepsilon)\) centré en \(L\), il existe un point au-delà duquel tous les termes de la suite tombent dans cet intervalle.
Exercice 1 : Démontrer que \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \) converge vers zéro.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Pour tout \( \varepsilon > 0 \), il suffit de choisir \( n_{\varepsilon} > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} \). Alors pour tout \( n \geq n_{\varepsilon} \), on a :
\[ \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Donc la suite converge vers zéro.
Exercice 2 : Démontrer que \( a_n = \displaystyle \frac{n}{n+1} \) converge vers 1.
\[ \left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| = \frac{1}{n+1} < \varepsilon \]
Ceci est vérifié si \( n > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} - 1 \). Donc la suite converge vers 1.
Définition de Suite Divergente vers \(+\infty\)
Une suite \( a_n \) diverge vers \(+\infty\) si ses termes deviennent arbitrairement grands. Formellement :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n > M \]
Exercice 3 : Démontrer que \( a_n = 2n \) diverge vers \(+\infty\).
\[ 2n > M \Rightarrow n > \frac{M}{2} \]
En choisissant \( n_M > \displaystyle \frac{M}{2} \), pour tout \( n \geq n_M \) on a \( a_n = 2n > M \). Donc la suite diverge vers \(+\infty\).
Définition de Suite Divergente vers \(-\infty\)
Une suite \( a_n \) diverge vers \(-\infty\) si ses termes deviennent arbitrairement négatifs. Formellement :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n < -M \]
Exercice 4 : Démontrer que \( b_n = -3n \) diverge vers \(-\infty\).
\[ -3n < -M \Rightarrow n > \frac{M}{3} \]
En choisissant \( n_M > \displaystyle \frac{M}{3} \), on a \( b_n < -M \). Donc \( \lim_{n \to \infty} b_n = -\infty \).
Exercice 5 : Démontrer que \( a_n = -\ln(n) \) diverge vers \(-\infty\).
\[ -\ln(n) < -M \Rightarrow n > e^M \]
En choisissant \( n_M > e^M \), on a \( a_n = -\ln(n) < -M \). Par conséquent, la suite diverge vers \(-\infty\).
Définition de Suite Irrégulière
Une suite \( a_n \) est dite irrégulière si elle n'est ni convergente ni divergente. Les termes oscillent sans tendre vers une valeur limite.
Exercice 6 : Étudier la suite \( a_n = (-1)^n \).
La suite est bornée, mais ne converge pas. En effet :
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} = -1 \]
Deux sous-suites ont des limites différentes, donc la suite est irrégulière.
Exercice 7 : Étudier la suite \( a_n = \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \).
Les valeurs sont : \( 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots \). La suite est bornée, mais ne converge pas. En effet :
\[ \lim_{n \to \infty} a_{4n-3} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} a_{4n-2} = 0 \]
Là aussi, deux sous-suites ont des limites différentes. La suite est donc irrégulière.
Ces exemples montrent qu'être bornée n'implique pas la convergence : une suite peut osciller indéfiniment.