L'inégalité de Bernoulli, énoncée par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1689, revêt une importance fondamentale car elle permet d'établir des estimations par excès et par défaut pour les fonctions exponentielles et polynomiales.
Théorème. (Inégalité de Bernoulli). Soit \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(x \geq -1\). Alors, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), l'inégalité suivante est valable :
\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]
Démonstration. Nous procédons par induction sur le naturel \(n\).
Base inductive : Pour \(n = 0\), nous avons:
\[ (1 + x)^0 = 1 = 1 + 0 \cdot x \]
donc l'assertion est vérifiée.
Hypothèse inductive : Supposons que l'inégalité soit vraie pour un certain \(k \in \mathbb{N}\), c'est-à-dire:
\[ (1 + x)^k \geq 1 + kx \]
Pas inductif : Nous démontrons que l'inégalité vaut pour \(k + 1\). Multiplions les deux membres de l'hypothèse inductive par \((1 + x)\). Cette opération préserve le sens de l'inégalité, car \(x \geq -1\) implique \((1 + x) \geq 0\). Nous obtenons:
\[ \begin{align} (1 + x)^{k+1} &\geq (1 + kx)(1 + x) \\[1mm] & = 1 + x + kx + kx^2 \\[1mm] & = 1 + (k + 1)x + kx^2 \\[1mm] &\geq 1 + (k + 1)x \end{align} \]
La dernière inégalité est justifiée par le fait que \(kx^2 \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et \(k \in \mathbb{N}\). Par le principe d'induction, l'inégalité est démontrée pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Remarque. La condition \(x \geq -1\) est nécessaire pour garantir que la multiplication par \((1 + x)\) dans le pas inductif préserve le sens de l'inégalité.
Exemple. L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée pour estimer la fonction exponentielle \(e^x\). Sachant que
\[ e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \]
nous pouvons appliquer l'inégalité et obtenir une estimation inférieure.
L'inégalité de Bernoulli nous dit que:
\[ \begin{align*} e^x &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \\[1mm] &\geq \lim_{n \to \infty} \left(1 + n \cdot\frac{x}{n}\right) = 1 + x. \end{align*} \]
Ainsi, \(e^x \geq 1 + x\). Ce résultat fournit une estimation simple et immédiate pour la fonction exponentielle, sans avoir recours à des calculs compliqués.