La limite suivante est d’une importance fondamentale, car elle apparaît fréquemment dans l’étude des dérivées, des limites et des approximations des fonctions trigonométriques.
Nous fournirons deux démonstrations : l’une basée sur le Théorème des gendarmes (également connu sous le nom de Théorème d’encadrement), qui repose sur une comparaison géométrique, et l’autre utilisant la Série de Taylor, qui exploite le développement en série de la fonction cosinus.
La limite que nous souhaitons démontrer est la suivante :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \]
Démonstration avec le Théorème des Gendarmes
Considérons le cercle unité et un angle \( x \) en radians. Il est bien connu que :
\[ \sin(x) < x < \tan(x), \quad \text{pour } x \in (0, \frac{\pi}{2}). \]
En divisant par \( \sin(x) \) :
\[ 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{\tan(x)}{\sin(x)}. \]
Nous pouvons réécrire la fraction :
\[ \frac{\tan(x)}{x} = \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos(x)}. \]
Comme on sait que :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \quad \text{et} \quad \cos(x) \to 1, \]
alors l’inverse \( \frac{1}{\cos(x)} \) tend aussi vers \( 1 \), et nous concluons :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]
Démonstration avec les Séries de Taylor
Utilisons les développements de Taylor des fonctions sinus et cosinus :
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \] \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Calculons l’inverse de \( \cos(x) \) en utilisant le développement en série de \( \frac{1}{1 - u} \) :
\[ \frac{1}{\cos(x)} = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Maintenant, multiplions par \( \sin(x) \) :
\[ \tan(x) = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) \cdot (1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)). \]
Développons les termes principaux :
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^5). \]
Comme
\[ \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{3}, \]
nous avons
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5). \]
En divisant par \( x \) :
\[ \frac{\tan(x)}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + O(x^4). \]
Comme le terme \( \frac{x^2}{3} + O(x^4) \) tend vers zéro lorsque \( x \to 0 \), il en résulte que :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]