La limite remarquable suivante est d'une importance fondamentale car elle apparaît fréquemment dans le calcul des limites, l'étude des dérivées et les approximations des fonctions trigonométriques.
Nous fournirons deux démonstrations : l'une basée sur une identité trigonométrique, qui exploite la relation entre le sinus et le cosinus, et l'autre par le développement en série de Taylor de la fonction cosinus.
La limite remarquable que nous allons démontrer est la suivante :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Identité trigonométrique
Nous utilisons l'identité suivante :
\[ 1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right). \]
Nous réécrivons la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}. \]
En manipulant l'expression :
\[ \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \cdot \frac{(x/2)^2}{x^2}. \]
En utilisant la limite remarquable :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{(x/2)} = 1, \]
on obtient :
\[ \lim_{x \to 0} 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \]
Développement de Taylor
Le développement de Taylor de \( \cos(x) \) est :
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
D'où :
\[ 1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Nous remplaçons maintenant dans la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2}. \]
En séparant les termes :
\[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2}{2x^2} + \frac{O(x^4)}{x^2}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} + O(x^2)\right). \]
Puisque \( O(x^2) \to 0 \) lorsque \( x \to 0 \), la limite est :
\[ \frac{1}{2}. \]