Dans cette section, nous allons démontrer la limite remarquable suivante :
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \]
en utilisant deux méthodes distinctes : la première repose sur l'interprétation de la limite comme définition de la dérivée, tandis que la seconde utilise le développement en série de Taylor de la fonction exponentielle.
Interprétation comme Dérivée
Considérons la fonction \( f(x)=e^x \). Le quotient différentiel \[ \frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0} \] représente le quotient différentiel qui, lorsque \( x \) tend vers 0, définit la dérivée de \( f(x) \) en 0 : \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=f'(0). \]
Comme la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même \( e^x \), nous avons : \[ f'(0)=e^0=1. \]
Ainsi, nous obtenons : \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Développement en Série de Taylor
Alternativement, considérons le développement en série de Taylor de la fonction \( e^x \) autour de \( x=0 \) :
\[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
En soustrayant \( 1 \) des deux côtés, nous obtenons :
\[ e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
En divisant par \( x \) (avec \( x\neq 0 \)) : \[ \frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots. \]
En prenant la limite lorsque \( x \to 0 \), tous les termes contenant \( x \) tendent vers zéro, ce qui donne : \[ \lim_{x \to 0}\left(1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots\right)=1. \]
Les deux méthodes, celle basée sur la définition de la dérivée et celle basée sur le développement en série de Taylor, conduisent au même résultat : \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Exercices
Exercice 1. Calculez la limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)}. \]
Solution. Nous pouvons réécrire l'expression comme suit :
\[ \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = \frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin(2x)} \]
En utilisant la limite remarquable de l'exponentielle :
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x}-1}{3x} = 1 \]
et sachant que :
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(2x)}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{\sin(2x)} = 1 \]
nous obtenons :
\[ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0}\frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin(2x)} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2} \]
Ainsi, \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \]
Exercice 2. Calculez la limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} \]
Solution. Nous pouvons réécrire l'expression comme suit :
\[ \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{e^{2x}-1} \]
Nous utilisons les limites remarquables suivantes :
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\tan(3x)}{3x} = 1 \]
et
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{e^{2x}-1} = 1 \]
De plus, le terme \(\frac{3x}{2x}\) se simplifie en \(\frac{3}{2}\). Ainsi :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \]