L'une des limites les plus fréquemment rencontrées concerne la fonction racine carrée, qui peut être démontrée élégamment par la rationalisation du dénominateur, une technique qui élimine efficacement les formes indéterminées. Nous allons démontrer rigoureusement que :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{2} \]
Rationalisation du Numérateur
Le numérateur \( \sqrt{1 + x} - 1 \) contient une expression radicale, que nous éliminerons en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué \( \sqrt{1 + x} + 1 \) :
\[ \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
En développant le numérateur à l'aide de l'identité de la différence de carrés :
\[ (\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1) = (1 + x) - 1 = x. \]
Le dénominateur devient ainsi :
\[ x (\sqrt{1 + x} + 1). \]
En simplifiant l'expression :
\[ \frac{x}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
En évaluant la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}. \]
Confirmation par la Dérivée
Une approche alternative s'appuie sur la définition fondamentale de la dérivée. Nous observons que la limite proposée présente la forme du quotient différentiel qui définit la dérivée :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(0+x) - f(0)}{x} \]
Où \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) et \( f(0) = 1 \).
Rappelons que la définition formelle de la dérivée d'une fonction \( f(x) \) au point \( x_0 \) est donnée par :
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]
Dans notre cas précis, la limite originale correspond exactement à la dérivée de \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) évaluée en \( x = 0 \).
Calculons cette dérivée :
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}}. \]
En évaluant à \( x = 0 \) :
\[ f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}. \]
Par conséquent :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = f'(0) = \frac{1}{2}. \]
Nous avons ainsi établi formellement la limite par la méthode de rationalisation et avons ensuite vérifié le résultat en reconnaissant que la limite représente précisément la dérivée de la fonction \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) au point \( x = 0 \), assurant ainsi une démonstration impeccable et rigoureuse.