Des limites de ce type apparaissent fréquemment dans le calcul de limites impliquant des polynômes ou des rapports de polynômes, en particulier lorsqu'on analyse le comportement des fonctions rationnelles pour des valeurs très grandes de \(x\).
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} \]
Cas \( n > 0 \)
Nous voulons démontrer que :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad \text{pour tout } n > 0. \]
Définition de la limite : pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe \( X > 0 \) tel que si \( x > X \), alors :
\[ \left| \frac{1}{x^n} - 0 \right| < \varepsilon. \]
Mais puisque \( \frac{1}{x^n} \) est toujours positif, on peut réécrire :
\[ \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Il suffit alors de choisir \( X \) tel que :
\[ X = \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}. \]
Si \( x > X \), alors :
\[ x > \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \Rightarrow \quad x^n > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Ainsi, par définition de la limite, on obtient :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0. \]
Cas \( n = 0 \)
Si \( n = 0 \), alors l'expression devient simplement :
\[ \frac{1}{x^0} = 1. \]
Comme il s'agit d'une constante, la limite est :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^0} = 1. \]
Cas \( n < 0 \)
Si \( n < 0 \), on peut écrire \( n = -m \) avec \( m > 0 \). Dans ce cas :
\[ \frac{1}{x^n} = \frac{1}{x^{-m}} = x^m. \]
Comme \( x^m \to \infty \) lorsque \( x \to \infty \), il en résulte que :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = \infty. \]
Résumons les trois cas :
- Si \( n > 0 \), alors \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 0 \).
- Si \( n = 0 \), alors \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 1 \).
- Si \( n < 0 \), alors \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = \infty \).
Cette propriété est utile pour étudier le comportement asymptotique des fonctions rationnelles.
Exercice sur la limite remarquable
Calculez la limite suivante :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1}. \]
Solution. On divise le numérateur et le dénominateur par la puissance maximale de \( x \) présente au dénominateur, qui est \( x^5 \) :
\[ \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = \frac{\displaystyle \frac{5x^3}{x^5} + \displaystyle \frac{7}{x^5}}{\displaystyle \frac{2x^5}{x^5} + \displaystyle \frac{4x^2}{x^5} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
En simplifiant :
\[ = \frac{5 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^2} + 7 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^5}}{2 + 4 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^3} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
En appliquant la limite, sachant que \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \) pour tout \( n > 0 \), on obtient :
\[ = \frac{5 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{2 + 4 \cdot 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0. \]
Résultat
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = 0. \]
Cet exercice illustre comment la limite remarquable est utile pour analyser le comportement des fonctions rationnelles lorsque \( x \to \infty \).