La limite suivante montre que la croissance de la fonction exponentielle \( e^x \) est beaucoup plus rapide que celle de n'importe quel polynôme \( x^n \). Ce résultat est fondamental en analyse mathématique et est utilisé dans la théorie des ordres de grandeur et en complexité computationnelle.
Démontrons que :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \]
Règle de L'Hôpital
Considérons la fonction :
\[ f(x) = \frac{e^x}{x^n}. \]
Appliquons la règle de L'Hôpital, en dérivant \( n \) fois le numérateur et le dénominateur :
- Le numérateur \( e^x \) reste inchangé.
- Le dénominateur, après \( n \) dérivations, devient \( n! \).
Donc, nous avons :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{n!} = \infty. \]
Comparaison des ordres de grandeur
Une autre façon de démontrer la limite est de noter que la fonction \( e^x \) peut s'écrire comme sa série de Taylor :
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}. \]
Considérons seulement le terme avec \( k = n+1 \) :
\[ e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. \]
Par conséquent :
\[ \frac{e^x}{x^n} > \frac{x^{n+1}}{(n+1)! x^n} = \frac{x}{(n+1)!}. \]
Puisque \( \displaystyle \frac{x}{(n+1)!} \to \infty \) lorsque \( x \to \infty \), il s'ensuit que \( \displaystyle \frac{e^x}{x^n} \to \infty \).
Méthode asymptotique
Nous pouvons également utiliser une approche asymptotique. Remarquons que le rapport entre les deux fonctions est :
\[ \frac{e^x}{x^n} = e^{x - n \ln x}. \]
Pour \( x \) suffisamment grand, le terme \( x - n \ln x \) croît indéfiniment, donc \( e^{x - n \ln x} \to \infty \), et la limite est démontrée.