La limite suivante montre que la croissance de la fonction exponentielle \( e^x \) est bien plus rapide que celle de tout polynôme \( x^n \). Ce résultat est fondamental en analyse mathématique et est utilisé dans la théorie des ordres de grandeur ainsi qu’en complexité computationnelle.
Démontrons que :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \]
Critère de L'Hôpital
Considérons la fonction :
\[ f(x) = \frac{x^n}{e^x} \]
Appliquons le critère de L'Hôpital en dérivant \( n \) fois le numérateur et le dénominateur :
- Le numérateur, après \( n \) dérivations, devient \( n! \);
- Le dénominateur \( e^x \) reste inchangé.
Ainsi, nous obtenons :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \]
Comparaison des ordres de grandeur
Une autre méthode pour démontrer cette limite consiste à écrire la fonction exponentielle sous la forme de son développement de Taylor :
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \]
Considérons les termes jusqu’à \( k = 2n \) :
\[ e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{2n}}{(2n)!} > \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
Ainsi :
\[ \frac{x^n}{e^x} < \displaystyle \frac{x^n}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!}} = \frac{(2n)!}{x^n} \]
Comme \( \displaystyle \frac{(2n)!}{x^n} \to 0 \) lorsque \( x \to \infty \), il en résulte que \( \displaystyle \frac{x^n}{e^x} \to 0 \).
Méthode asymptotique
Nous pouvons également utiliser une approche asymptotique. Observons que le rapport entre les deux fonctions est :
\[ \frac{x^n}{e^x} = e^{n \ln x - x} \]
Pour \( x \) suffisamment grand, le terme \( n \ln x - x \) devient négatif et décroît indéfiniment, ce qui implique que \( e^{n \ln x - x} \to 0 \), et la limite est démontrée.