Nous voulons démontrer la limite suivante :
\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \]
Nous démontrerons cette limite en utilisant deux méthodes distinctes : le logarithme naturel et sa dérivée, ainsi que le développement en série de Taylor.
Logarithme naturel et dérivée
Posons :
\[ y = (1 + x)^{\frac{1}{x}} \]
Appliquons le logarithme naturel :
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x) \]
Calculons la limite du membre de droite :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]
En utilisant la limite fondamentale :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Nous obtenons :
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
Ce qui implique :
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Développement de Taylor
Utilisons le développement de Taylor de \( \ln(1 + x) \) au voisinage de \( x = 0 \) :
\[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \]
Ainsi, nous avons :
\[ \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2) \]
En passant à la limite lorsque \( x \to 0 \), nous obtenons :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Donc :
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
Ce qui implique :
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Nous avons ainsi démontré cette limite par deux approches différentes.
Exercices
En utilisant la limite remarquable, calculons les limites suivantes :
Exercice 1. Calculer :
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + 2x \right)^{\frac{1}{x}} \]
Solution. Posons \( y = (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} \) et prenons le logarithme :
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + 2x) \]
Grâce à la limite fondamentale :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2 \]
Nous obtenons donc :
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e^2 \]
Exercice 2. Calculer :
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + x^2 \right)^{\frac{1}{x^2}} \]
Solution. Posons \( y = (1 + x^2)^{\frac{1}{x^2}} \) et prenons le logarithme :
\[ \ln y = \frac{1}{x^2} \ln(1 + x^2) \]
En utilisant le développement de Taylor :
\[ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \]
Nous avons :
\[ \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \]
En passant à la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e \]