Dans cette démonstration, nous allons calculer la limite remarquable suivante :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Ce résultat est fondamental, et pour le prouver, nous utiliserons deux approches distinctes.
- Développement de Taylor
- Démonstration de la Limite en utilisant la Dérivée
- Dérivée de la fonction exponentielle
- Conclusion
Développement de Taylor
Utilisons la définition de la fonction exponentielle :
\[ a^x = e^{x \ln a}. \]
Développons \( e^{x \ln a} \) en série de Taylor autour de \( x = 0 \) :
\[ e^{x \ln a} = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \dots \]
En remplaçant cette expansion dans la limite :
\[ \frac{a^x - 1}{x} = \frac{\left(1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots\right) - 1}{x}. \]
En simplifiant :
\[ \frac{x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots}{x}. \]
En divisant tout par \( x \) :
\[ \ln a + \frac{x \ln^2 a}{2!} + \frac{x^2 \ln^3 a}{3!} + \dots. \]
Lorsque \( x \to 0 \), les termes en \( x \) tendent vers zéro, laissant :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a. \]
Démonstration de la Limite en utilisant la Dérivée
Dans cette partie de la démonstration, nous calculons la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Pour ce faire, nous utilisons la définition de la dérivée. La dérivée d'une fonction \( f(x) \) en un point \( x = a \) est définie par :
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]
Dans notre cas, la fonction est \( f(x) = a^x \), nous devons donc calculer la dérivée de \( f(x) \) en \( x = 0 \). La dérivée de \( f(x) = a^x \) est :
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{0+h} - a^0}{h}. \]
Puisque \( a^0 = 1 \), cette expression devient :
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}. \]
C'est exactement la forme de la limite que nous essayons de calculer !
Dérivée de la fonction exponentielle
Pour trouver la dérivée de \( a^x \), nous pouvons réécrire \( a^x \) sous la forme \( e^{x \ln a} \), où \( \ln a \) est le logarithme naturel de \( a \). Ainsi, la dérivée de \( a^x \) est :
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} e^{x \ln a} = e^{x \ln a} \cdot \ln a. \]
Lorsque \( x = 0 \), nous obtenons :
\[ f'(0) = e^{0 \ln a} \cdot \ln a = 1 \cdot \ln a = \ln a. \]
Conclusion
Nous avons donc montré que la dérivée de la fonction \( a^x \) en \( x = 0 \) est \( \ln a \), ce qui implique que :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a. \]
C'est exactement la limite que nous voulions calculer, concluant ainsi la démonstration.