Les opérations sur les limites sont d'une importance fondamentale car elles nous permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient en la déduisant directement des limites des suites individuelles. Ces règles simplifient considérablement les calculs, permettant d'analyser le comportement de fonctions complexes sans avoir recours à des méthodes plus élaborées.
Sommaire
Limite de la Somme
Soient \(\{a_n\}\) et \(\{b_n\}\) deux suites. Si :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
alors :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Démonstration. Pour démontrer ce théorème, nous utilisons la définition de limite pour les suites. Selon la définition, \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\) signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un nombre naturel \(N_1\) tel que :
\[ |a_n - A| < \epsilon \quad \text{pour tout} \ n \geq N_1. \]
De même, \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\) signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un nombre naturel \(N_2\) tel que :
\[ |b_n - B| < \epsilon \quad \text{pour tout} \ n \geq N_2. \]
Maintenant, nous devons démontrer que :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Pour démontrer que \(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B\), nous devons montrer que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un nombre naturel \(N\) tel que :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \quad \text{pour tout} \ n \geq N. \]
On a :
\begin{align} |(a_n + b_n) - (A + B)| &= |(a_n + b_n) - (A + B)| \\ &= |(a_n - A) + (b_n - B)| \end{align}
L'inégalité triangulaire nous assure que :
\[ |(a_n - A) + (b_n - B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Maintenant, pour tout \(\epsilon > 0\), étant donné que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), il existe un nombre naturel \(N_1\) tel que :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{pour tout} \ n \geq N_1. \]
De même, étant donné que \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), il existe un nombre naturel \(N_2\) tel que :
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{pour tout} \ n \geq N_2. \]
Si nous choisissons \( N = \max(N_1, N_2) \), nous avons que pour tout \(n \geq N\) les inégalités suivantes sont vérifiées :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
Maintenant, pour tout \(n \geq N\) :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Puisque :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
nous avons :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]
Donc, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), on a :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \]
Ce qui démontre que :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B \]
Limite du Produit
Pour démontrer ce théorème, nous devons montrer que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un nombre naturel \(N\) tel que :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon \quad \text{pour tout} \ n \geq N. \]
Étant donné que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un nombre naturel \(N_1\) tel que :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{pour tout} \ n \geq N_1. \]
Étant donné que \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un nombre naturel \(N_2\) tel que :
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} \quad \text{pour tout} \ n \geq N_2. \]
Nous choisissons \(N\) comme le maximum entre \(N_1\) et \(N_2\) :
\[ N = \max(N_1, N_2). \]
Pour tout \(n \geq N\), nous avons à la fois \(n \geq N_1\) et \(n \geq N_2\). Donc :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}. \]
Considérons la différence :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)|. \]
Nous pouvons réécrire cette différence comme :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| = |a_n \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Ajoutons et soustrayons \(A \cdot b_n\) :
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot B| = |(a_n \cdot b_n - A \cdot b_n) + (A \cdot b_n - A \cdot B)|. \]
Utilisons l'inégalité triangulaire :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| + |A \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Décomposons les termes :
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot b_n|. \]
Puisque :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \]
de plus :
\[ |b_n| \leq |B| + 1 \text{ pour } n \geq N, \]
nous avons :
\[ |(a_n - A) \cdot b_n| \leq |a_n - A| \cdot |b_n| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \cdot (|B| + 1) = \frac{\epsilon}{2}. \]
De manière similaire :
\[ |A \cdot b_n - A \cdot B| = |A \cdot (b_n - B)|. \]
Puisque :
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}, \]
de plus :
\[ |A| \leq |A| + 1 \text{ pour } n \geq N, \]
nous avons :
\[ |A \cdot (b_n - B)| \leq |A| \cdot |b_n - B| < (|A| + 1) \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} = \frac{\epsilon}{2}. \]
Additionnons les inégalités :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |(a_n - A) \cdot b_n| + |A \cdot (b_n - B)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \]
Donc, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), on a :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon. \]
Ce qui démontre que :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B. \]
Limite du Quotient
Supposons que nous ayons deux suites \(a_n\) et \(b_n\) telles que :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
avec \(B \neq 0\). Nous voulons démontrer que :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]
Cela signifie que, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un nombre naturel \(N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), on a :
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon. \]
Réécrivons la différence comme :
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| = \left| \frac{a_n \cdot B - A \cdot b_n}{b_n \cdot B} \right|. \]
Pour estimer cette expression, nous pouvons utiliser l'inégalité triangulaire et réécrire le numérateur :
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)|. \]
En appliquant l'inégalité triangulaire, nous obtenons :
\[ |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)| \leq |(a_n - A) \cdot B| + |A \cdot (B - b_n)|. \]
Maintenant nous devons estimer séparément les deux termes \( |(a_n - A) \cdot B| \) et \( |A \cdot (B - b_n)| \). Pour cela, nous pouvons choisir deux quantités \( \delta_1 \) et \( \delta_2 \), telles que :
\[ \delta_1 + \delta_2 = \epsilon. \]
Imposons les conditions suivantes :
\[ |a_n - A| < \delta_1 \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \delta_2. \]
En utilisant ces inégalités, nous obtenons pour le premier terme :
\[ |(a_n - A) \cdot B| \leq |a_n - A| \cdot |B| < \delta_1 \cdot |B|. \]
Pour le second terme :
\[ |A \cdot (B - b_n)| \leq |A| \cdot |B - b_n| < |A| \cdot \delta_2. \]
Additionnons maintenant les deux termes :
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| \leq \delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|. \]
Finalement, divisons par \( |b_n \cdot B| \). Puisque pour \(n\) suffisamment grand \( |b_n| \geq \frac{|B|}{2} \), nous pouvons écrire :
\[ \frac{|a_n \cdot B - A \cdot b_n|}{|b_n \cdot B|} \leq \frac{\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|}{\frac{|B|^2}{2}}. \]
En simplifiant l'expression, nous obtenons :
\[ \frac{2(\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|)}{|B|^2}. \]
Pour garantir que toute l'expression soit inférieure à \( \epsilon \), nous pouvons choisir \( \delta_1 \) et \( \delta_2 \) de manière qu'ils satisfassent une relation proportionnelle. Par exemple, nous pouvons choisir :
\[ \delta_1 = \frac{\epsilon}{2} \quad \text{et} \quad \delta_2 = \frac{\epsilon}{2}. \]
De cette manière, nous garantissons que :
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon, \]
démontrant ainsi que :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]