Les opérations sur les limites sont d'une importance fondamentale car elles nous permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient en la déduisant directement des limites des suites individuelles. Ces règles simplifient considérablement les calculs, permettant d'analyser le comportement de fonctions complexes sans recourir à des méthodes plus élaborées.
Table des matières
Limite de la somme
Soient \(\{a_n\}\) et \(\{b_n\}\) deux suites. Si :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
alors :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Démonstration. Pour démontrer ce théorème, nous utilisons la définition de la limite pour les suites. Selon cette définition, \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\) signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier naturel \(N_1\) tel que :
\[ |a_n - A| < \epsilon \quad \text{pour tout } n \geq N_1. \]
De même, \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\) signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier naturel \(N_2\) tel que :
\[ |b_n - B| < \epsilon \quad \text{pour tout } n \geq N_2. \]
Maintenant, nous devons démontrer que :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Pour montrer que \(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B\), il faut prouver que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier naturel \(N\) tel que :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \quad \text{pour tout } n \geq N. \]
On a :
\begin{align} |(a_n + b_n) - (A + B)| &= |(a_n + b_n) - (A + B)| \\[1mm] &= |(a_n - A) + (b_n - B)| \end{align}
L'inégalité triangulaire nous assure que :
\[ |(a_n - A) + (b_n - B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B|. \]
Maintenant, pour tout \(\epsilon > 0\), étant donné que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), il existe un entier \(N_1\) tel que :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{pour tout } n \geq N_1. \]
De même, comme \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), il existe un entier \(N_2\) tel que :
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{pour tout } n \geq N_2. \]
Si nous choisissons \( N = \max(N_1, N_2) \), alors pour tout \(n \geq N\) les inégalités suivantes sont vérifiées :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2}. \]
Ainsi, pour tout \(n \geq N\) :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B|. \]
Puisque :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2}, \]
on obtient :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \]
Ainsi, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), on a :
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon, \]
ce qui démontre que :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Limite du produit
Pour démontrer ce théorème, nous devons montrer que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier naturel \(N\) tel que :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon \quad \text{pour tout } n \geq N. \]
Étant donné que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), pour tout \(\epsilon > 0\) il existe un entier \(N_1\) tel que :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{pour tout } n \geq N_1. \]
De même, puisque \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), pour tout \(\epsilon > 0\) il existe un entier \(N_2\) tel que :
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} \quad \text{pour tout } n \geq N_2. \]
Choisissons \(N\) comme le maximum de \(N_1\) et \(N_2\) :
\[ N = \max(N_1, N_2). \]
Pour tout \(n \geq N\), nous avons à la fois \(n \geq N_1\) et \(n \geq N_2\). Donc :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}. \]
Considérons la différence :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)|. \]
Nous pouvons réécrire cette différence comme :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| = |a_n \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Ajoutons et soustrayons \(A \cdot b_n\) :
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot B| = |(a_n \cdot b_n - A \cdot b_n) + (A \cdot b_n - A \cdot B)|. \]
Nous utilisons alors l'inégalité triangulaire :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| + |A \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Décomposons les termes :
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot b_n|. \]
Puisque :
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)}, \]
de plus :
\[ |b_n| \leq |B| + 1 \quad \text{pour } n \geq N, \]
nous avons :
\[ |(a_n - A) \cdot b_n| \leq |a_n - A| \cdot |b_n| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \cdot (|B| + 1) = \frac{\epsilon}{2}. \]
De même :
\[ |A \cdot b_n - A \cdot B| = |A \cdot (b_n - B)|. \]
Puisque :
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}, \]
et que :
\[ |A| \leq |A| + 1 \quad \text{pour } n \geq N, \]
nous avons :
\[ |A \cdot (b_n - B)| \leq |A| \cdot |b_n - B| < (|A| + 1) \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} = \frac{\epsilon}{2}. \]
En additionnant ces inégalités, nous obtenons :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |(a_n - A) \cdot b_n| + |A \cdot (b_n - B)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \]
Ainsi, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), on a :
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon. \]
Ce qui démontre que :
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B. \]
Limite du rapport
Supposons que nous ayons deux suites \(a_n\) et \(b_n\) telles que :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
avec \(B \neq 0\). Nous voulons démontrer que :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]
Cela signifie que, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier naturel \(N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), on ait :
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon. \]
Récrivons la différence comme suit :
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| = \left| \frac{a_n \cdot B - A \cdot b_n}{b_n \cdot B} \right|. \]
Pour estimer cette expression, nous pouvons utiliser l'inégalité triangulaire et réécrire le numérateur :
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)|. \]
En appliquant l'inégalité triangulaire, nous obtenons :
\[ |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)| \leq |(a_n - A) \cdot B| + |A \cdot (B - b_n)|. \]
Maintenant, nous devons estimer séparément les deux termes \( |(a_n - A) \cdot B| \) et \( |A \cdot (B - b_n)| \). Pour ce faire, nous pouvons choisir deux quantités \( \delta_1 \) et \( \delta_2 \), telles que :
\[ \delta_1 + \delta_2 = \epsilon. \]
Imposons les conditions suivantes :
\[ |a_n - A| < \delta_1 \quad \text{et} \quad |b_n - B| < \delta_2. \]
En utilisant ces inégalités, nous obtenons pour le premier terme :
\[ |(a_n - A) \cdot B| \leq |a_n - A| \cdot |B| < \delta_1 \cdot |B|. \]
Pour le deuxième terme :
\[ |A \cdot (B - b_n)| \leq |A| \cdot |B - b_n| < |A| \cdot \delta_2. \]
Additionnons maintenant ces deux termes :
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| \leq \delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|. \]
Enfin, divisons par \( |b_n \cdot B| \). Puisque pour \(n\) suffisamment grand, \( |b_n| \geq \frac{|B|}{2} \), nous pouvons écrire :
\[ \frac{|a_n \cdot B - A \cdot b_n|}{|b_n \cdot B|} \leq \frac{\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|}{\frac{|B|^2}{2}}. \]
En simplifiant l'expression, nous obtenons :
\[ \frac{2(\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|)}{|B|^2}. \]
Pour garantir que l'expression entière soit inférieure à \( \epsilon \), nous pouvons choisir \( \delta_1 \) et \( \delta_2 \) de manière à satisfaire une relation proportionnelle. Par exemple, nous pouvons choisir :
\[ \delta_1 = \frac{\epsilon}{2} \quad \text{et} \quad \delta_2 = \frac{\epsilon}{2}. \]
De cette façon, nous garantissons que :
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon, \]
démontrant ainsi que :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]