Nous avons déjà calculé quelques dérivées de fonctions élémentaires en utilisant la limite du quotient incrémental de la fonction \(f(x)\). Maintenant, nous allons voir comment calculer - de manière plus générale - la dérivée de la somme \((f + g)(x_0)\), la dérivée du produit \((f \cdot g)(x_0)\), de la fonction inverse \(f^{-1}(x_0)\) et de la fonction composée \((f \circ g)(x_0)\).
Table des Matières
Dérivée de la somme
Soient \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) et \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) deux fonctions et soit \(x_0 \in X \cap Y\). Si \( f \) et \( g \) sont dérivables en \(x_0\), alors \( (f + g)(x) \) est dérivable en \(x_0\) et sa dérivée est donnée par : \[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Preuve : Appliquons la définition de dérivée à la fonction somme :
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \end{align}
La dernière étape est justifiée par le fait que la limite de la somme est égale à la somme des limites. Ainsi, nous déduisons que, puisque \(f\) et \(g\) sont dérivables en \(x_0\), la somme est dérivable en \(x_0\) :
\[(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)\]
Dérivée du produit
Soient \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) et \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) deux fonctions et soit \(x_0 \in X \cap Y\). Si \( f \) et \( g \) sont dérivables en \( x_0 \), alors le produit \( (f \cdot g)(x) \) est dérivable en \(x_0\) et sa dérivée est donnée par : \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Preuve : Appliquons la définition de dérivée à la fonction produit :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} \]
Nous pouvons manipuler algébriquement l'expression en ajoutant et en soustrayant \( f(x_0)g(x) \) au numérateur pour mettre en évidence la différence de deux termes :
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Maintenant, nous regroupons les termes de manière à pouvoir factoriser les termes communs :
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Nous remplaçons maintenant cette expression dans la limite :
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Nous divisons cette limite en deux parties :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Nous considérons la première limite :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) g(x_0) = f'(x_0)g(x_0) \]
Étant donné que \( \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \), nous pouvons sortir \( g(x_0) \) de la limite.
Maintenant, nous considérons la seconde limite :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
En combinant les deux résultats, nous obtenons :
\[ (f \cdot g)(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
C'est la règle du produit pour les dérivées, qui affirme que la dérivée du produit de deux fonctions est donnée par la somme du produit de la dérivée de la première fonction par la seconde fonction, plus le produit de la première fonction par la dérivée de la seconde fonction.
Dérivée de la fonction composée
Soient \(f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) et \(g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) deux fonctions, où \(X\) contient un voisinage de \(x_0\) et \(Y\) contient un voisinage de \(g(x_0)\), avec \(g(X) \subset Y\). Si \(g\) est dérivable en \(x_0\) et \(f\) est dérivable en \(g(x_0)\), alors la fonction composée \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) est dérivable en \(x_0\) et sa dérivée est donnée par :
\[ (f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) \]
Preuve : Partons de la définition de la dérivée comme limite du quotient incrémental :
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} \]
Nous multiplions et divisons par \( (g(x) - g(x_0)) \) :
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \]
La première partie du produit est la limite de la dérivée de \(f\) en \(g(x_0)\), et la seconde partie est la dérivée de \(g\) en \(x_0\). Ainsi, nous avons :
\[ (f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) \]
Dérivée de la fonction inverse
Si \( f \) est une fonction bijective (c'est-à-dire injective et surjective) et dérivable en un point \( x_0 \), et si \( f'(x_0) \neq 0 \), alors la fonction inverse \( f^{-1} \) est dérivable en \( y_0 = f(x_0) \) et sa dérivée est donnée par :
\[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Preuve : Considérons la relation \( f^{-1}(f(x_0)) = x_0 \). Appliquons des dérivées des deux côtés de cette équation :
\[ \frac{d}{dy} f^{-1}(f(x)) = \frac{d}{dy} x_0 \]
Par la règle de la chaîne, nous avons :
\[ \frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \frac{1}{f'(x_0)} \]