Nous avons déjà calculé quelques dérivées de fonctions élémentaires au moyen de la limite du taux d'accroissement de la fonction \(f(x)\). Maintenant nous verrons comment calculer - de manière plus générale - la dérivée de la somme \((f + g )(x_0)\), la dérivée du produit \((f \cdot g )(x_0)\), de la fonction réciproque \(f ^{ - 1 }(x_0)\) et de la fonction composée \((f \circ g)(x_0)\).
Sommaire
- Dérivée de la Somme
- Dérivée du Produit
- Dérivée de la Fonction Composée
- Dérivée de la Fonction Réciproque
Dérivée de la Somme
Soient \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) et \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) deux fonctions et soit \(x_0 \in X\cap Y\). Si \( f \) et \( g \) sont dérivables au point \(x_0\), alors \( (f + g )(x) \) est dérivable en \(x_0\) et sa dérivée est donnée par\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Démonstration. Appliquons la définition de dérivée à la fonction somme :
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x) -g(x_0)}{x - x_0} \end{align} La dernière étape est justifiée par le fait que la limite de la somme est égale à la somme des limites. Nous déduisons donc que, puisque les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables en \(x_0\), la somme est dérivable en \(x_0\) :
\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Dérivée du Produit
Soient \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) et \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) deux fonctions et soit \(x_0 \in X \cap Y\). Si \( f \) et \( g \) sont dérivables au point \( x_0 \), alors le produit \( (f \cdot g)(x) \) est dérivable en \(x_0\) et sa dérivée est donnée par : \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Démonstration. Appliquons la définition de dérivée à la fonction produit :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) g(x) - f(x_0) g(x_0)}{x - x_0} \]
Nous pouvons manipuler algébriquement l'expression - en ajoutant et soustrayant \( f(x_0)g(x) \) - au numérateur pour mettre en évidence la différence de deux termes :
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Nous regroupons les termes de manière à pouvoir factoriser les facteurs communs :
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Maintenant nous pouvons substituer cette expression dans la limite :
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Nous divisons cette limite en deux parties :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Considérons la première limite :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) g(x_0) = f'(x_0)g(x_0) \]
Puisque \( \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \), nous pouvons sortir \( g(x_0) \) de la limite.
Maintenant considérons la seconde limite :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
En combinant les deux résultats, nous obtenons :
\[ ( f \cdot g )'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Ceci est la règle du produit pour les dérivées, qui énonce que la dérivée du produit de deux fonctions est donnée par la somme du produit de la dérivée de la première fonction par la seconde fonction, plus le produit de la première fonction par la dérivée de la seconde fonction.
Dérivée de la Fonction Composée
Soient \(f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) et \(g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) deux fonctions, où \(X\) contient un voisinage de \(x_0\) et \(Y\) contient un voisinage de \(g(x_0)\), avec \(g(X) \subset Y\). Si \(g\) est dérivable en \(x_0\) et \(f\) est dérivable en \(g(x_0)\), alors la fonction composée \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) est dérivable en \(x_0\) et sa dérivée est donnée par :
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Démonstration. Partons de la définition de dérivée comme limite du taux d'accroissement
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}\]
Multiplions et divisons par \((g(x) - g(x_0))\) :
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
La limite du produit est égale au produit des limites, donc nous pouvons séparer la limite en deux parties :
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
Maintenant, nous reconnaissons que la première limite est la définition de \(f'(g(x_0))\) et la seconde limite est la définition de \(g'(x_0)\). Nous obtenons donc :
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Dérivée de la Fonction Réciproque
Soit \( f : X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} \) une fonction bijective et continue sur un intervalle ouvert \(X\), avec réciproque \( f^{-1} : Y \to X \). Soit \( x_0 \in X \) et soit \( y_0 = f(x_0) \). Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0) \neq 0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(y_0\) et on a : \[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Démonstration. Par la règle de dérivation pour les fonctions composées : \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = (f^{-1})' (y_0)\cdot f'(x_0) \). Mais \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = 1 \), en tant que fonction identique sur \( X \) et donc :
\[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Remarque. Si \( f \) est dérivable en \(x_0\) avec \(f'(x_0)=0\), alors \(f^{-1}\) ne peut pas être dérivable en \( y_0=f(x_0) \) car \( 1/ f'(x_0)\) n'est pas définie.
Exemple. Soit \( g : [0, +\infty) \longrightarrow [0, +\infty) \) définie par \( g(y)=y^{1/3} \). La fonction \(f^{-1}\) ne peut pas être dérivable en \(y_0=0\) parce que la réciproque \(f(x)=x^3\) est dérivable en \(x_0\) avec \(f'(0) = 0\).