Le théorème de conservation du signe pour les fonctions énonce que, si une fonction réelle \( f \) admet une limite \( L \neq 0 \) pour \( x \to x_0 \), il existe un voisinage de \( x_0 \) tel que la fonction \( f(x) \) conserve le même signe que \( L \) pour toutes les valeurs de \( x \) dans ce voisinage (éventuellement à l'exclusion de \( x_0 \)). En d'autres termes :
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L > 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) > 0 \]
Si au contraire \( L < 0 \), alors :
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L < 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) < 0 \]
Rappelons la définition de limite :
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, |f(x) - L| < \epsilon \]
En particulier, en choisissant \( \displaystyle \epsilon = \frac{|L|}{2} \), on a
\[ L - \frac{|L|}{2} < f(x) < L + \frac{|L|}{2} \]
Maintenant, observons que :
- Si \( L > 0 \), alors
\[ \left( L - \frac{L}{2} \right) = \frac{L}{2} < f(x) < \frac{3L}{2} = \left( L + \frac{L}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
- Si \( L = -|L| < 0 \), alors
\[ \left( -|L| - \frac{|L|}{2} \right) = -\frac{3|L|}{2} < f(x) < -\frac{|L|}{2} = \left( -|L| + \frac{|L|}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
Dans les deux cas, dans un voisinage de \( x_0 \), les valeurs de la fonction \( f(x) \) ont le même signe que \( L \).
Exercice 1. Prenons \( f(x) = e^x \). Calculons la limite pour \( x \to 0 \) :
\[ \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \]
En prenant \( \epsilon = \displaystyle \frac{1}{2} \), on a :
\[ |e^x - 1| < \frac{1}{2} \]
Ceci implique :
\[ -\frac{1}{2} < e^x - 1 < \frac{1}{2} \]
En ajoutant 1 à tous les membres :
\[ \frac{1}{2} < e^x < \frac{3}{2} \]
Nous concluons que dans un voisinage de \(x = 0\), la fonction \(e^x\) prend des valeurs positives.
Exercice 2. Calculons la limite pour \( x \to 2 \) de la fonction logarithmique \( f(x) = \ln(x) \). Nous avons :
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x) = \ln(2) \]
Maintenant, en prenant \( \displaystyle \epsilon = \frac{\ln(2)}{2} \) :
\[ |\ln(x) - \ln(2)| < \frac{\ln(2)}{2} \]
Ceci implique :
\[ \displaystyle \ln(2) - \frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \ln(2) + \frac{\ln(2)}{2} \]
Enfin, en simplifiant :
\[ \frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \frac{3\ln(2)}{2} \]
Donc, dans un voisinage de \(x = 2\), la fonction \( \ln(x) \) prend des valeurs positives.
Exercice 3. Soit \( f(x) = e^x - 1 \). Calculons la limite pour \( x \to 1 \) :
\[ \lim_{x \to 1} (e^x - 1) = e - 1 \]
Prenons \( \displaystyle \epsilon = \frac{e - 1}{2} \) :
\[ |(e^x - 1) - (e - 1)| < \frac{e - 1}{2} \]
Ceci implique :
\[ e - 1 - \frac{e - 1}{2} < e^x - 1 < e - 1 + \frac{e - 1}{2} \]
En simplifiant :
\[ \frac{e - 1}{2} < e^x - 1 < \frac{3(e - 1)}{2}. \]
Enfin :
\[ 1 + \frac{e - 1}{2} < e^x < 1 + \frac{3(e - 1)}{2}. \]
Donc, dans un voisinage de \(x = 1\), aussi bien \(e^x\) que \(f(x) = e^x - 1\) prennent des valeurs positives, confirmant le théorème.