Le Théorème de Lagrange, connu également sous le nom de théorème des accroissements finis, est un résultat fondamental en analyse mathématique. Ce théorème énonce que, étant donnée une fonction continue sur un intervalle fermé \( [a, b]\) et dérivable dans \( (a, b) \), il existe au moins un point où la dérivée coïncide avec le taux d'accroissement entre les extrémités de l'intervalle. La démonstration repose sur le Théorème de Rolle et sur la construction d'une fonction auxiliaire.
Sommaire
Théorème de Lagrange (ou des Accroissements Finis)
Soit \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continue sur \([a,b]\) et dérivable en tout point de \( (a,b) \). Alors il existe au moins un point \( \xi \in (a,b) \) tel que :
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Démonstration. Pour démontrer ce théorème, nous construisons une fonction auxiliaire \(F(x)\) qui nous permettra d'appliquer le Théorème de Rolle. Nous définissons :
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Cette fonction \(F(x)\) est la différence entre \(f(x)\) et la droite qui passe par les points \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\). Il est facile de vérifier que \(F(a) = F(b) = 0\). De plus, \(F\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \((a,b)\), héritant de ces propriétés de \(f\).
En appliquant le Théorème de Rolle à \(F\), il existe au moins un point \(\xi \in (a,b)\) tel que \(F'(\xi) = 0\). En calculant la dérivée de \(F\) nous obtenons :
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Donc, \(F'(\xi) = 0\) implique la thèse du théorème. Ce point \( \xi \) n'est pas nécessairement unique.
Corollaires du Théorème de Lagrange
Corollaire 1. Si une fonction a une dérivée nulle en tout point d'un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.
Démonstration. Fixons un point \(x_0\) dans l'intervalle. Pour tout autre point \(x\), en appliquant le théorème de Lagrange à l'intervalle \([x_0,x]\), nous obtenons :
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Donc \(f(x) = f(x_0)\) pour tout \(x\) dans l'intervalle.
Corollaire 2. Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et \(f'(x) \geq 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est croissante au sens large sur \(I\). De même, si \(f'(x) \leq 0\), alors \(f\) est décroissante au sens large. Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x) < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante.
Démonstration. Prenons deux points quelconques \(x_1 < x_2\) dans \(I\), le théorème de Lagrange nous dit que :
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
puisque \(f'(\xi) \geq 0\) et \(x_2 - x_1 > 0\). Donc \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Si \(f'(\xi) > 0\), alors \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corollaire 3. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \((a,b)\) et \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) pour tout \(x \in (a,b)\), alors :
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Démonstration. En appliquant le théorème de Lagrange, nous savons qu'il existe \(\xi\) entre \(a\) et \(x\) tel que :
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
Et puisque \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), la thèse s'ensuit immédiatement.