Le théorème de Lagrange, également connu sous le nom de théorème de la valeur moyenne, est un résultat fondamental en analyse mathématique. Ce théorème affirme que, pour une fonction continue sur un intervalle fermé \( [a, b]\) et différentiable sur \( (a, b) \), il existe au moins un point où la dérivée coïncide avec le rapport d'accroissement entre les extrémités de l'intervalle. La démonstration repose sur le théorème de Rolle et sur la construction d'une fonction auxiliaire.
Table des Matières
Théorème de Lagrange (ou de la Valeur Moyenne)
Soit \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) une fonction continue sur \([a,b]\) et différentiable en tout point de \( (a,b) \). Alors, il existe au moins un point \( \xi \in (a,b) \) tel que:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Démonstration. Pour démontrer ce théorème, construisons une fonction auxiliaire \(F(x)\) qui nous permettra d'appliquer le théorème de Rolle. Nous définissons:
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Cette fonction \(F(x)\) représente la différence entre \(f(x)\) et la droite passant par les points \((a, f(a))\) et \((b, f(b))\). Il est facile de vérifier que \(F(a) = F(b) = 0\). De plus, \(F\) est continue sur \([a,b]\) et différentiable sur \((a,b)\), héritant ainsi de ces propriétés de \(f\).
En appliquant le théorème de Rolle à \(F\), il existe au moins un point \(\xi \in (a,b)\) tel que \(F'(\xi) = 0\). En calculant la dérivée de \(F\), nous obtenons:
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Ainsi, \(F'(\xi) = 0\) implique la conclusion du théorème. Ce point \( \xi \) n'est pas nécessairement unique.
Corollaires du Théorème de Lagrange
Corollaire 1. Si une fonction a une dérivée nulle en chaque point d'un intervalle, alors cette fonction est constante sur cet intervalle.
Démonstration. Fixons un point \(x_0\) dans l'intervalle. Pour tout autre point \(x\), en appliquant le théorème de Lagrange à l'intervalle \([x_0,x]\), nous obtenons:
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Ainsi, \(f(x) = f(x_0)\) pour tout \(x\) dans l'intervalle.
Corollaire 2. Si \(f\) est différentiable sur un intervalle \(I\) et que \(f'(x) \geq 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est non décroissante sur \(I\). De même, si \(f'(x) \leq 0\), alors \(f\) est non croissante. Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante; si \(f'(x) < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante.
Démonstration. Soient deux points quelconques \(x_1 < x_2\) dans \(I\). Le théorème de Lagrange nous dit que:
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
Puisque \(f'(\xi) \geq 0\) et \(x_2 - x_1 > 0\), il s'ensuit que \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Si \(f'(\xi) > 0\), alors \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corollaire 3. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), différentiable sur \((a,b)\) et si \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) pour tout \(x \in (a,b)\), alors:
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Démonstration. En appliquant le théorème de Lagrange, nous savons qu'il existe un \(\xi\) entre \(a\) et \(x\) tel que:
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
Et, puisque \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), la conclusion s'ensuit immédiatement.