Le théorème de Stolz-Cesàro fournit un outil utile pour calculer la limite d'un rapport de suites. Il est particulièrement pratique lorsque le dénominateur tend vers l'infini et que le calcul de la limite n'est pas immédiat. Ce théorème constitue une généralisation des critères de Cesàro et est souvent utilisé pour simplifier la vérification de la convergence des suites.
Table des matières
Théorème de Stolz-Cesàro. Soient \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) et \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) deux suites numériques, avec \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) satisfaisant les propriétés suivantes:
- \( b_n > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
- \( b_{n+1} > b_n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
- \(\lim_{n\to \infty } b_n = +\infty \).
Si la limite suivante existe :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L, \]
alors la limite suivante existe également:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Démonstration. Supposons que la limite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
existe et soit égale à \( L \). Nous devons montrer que:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Considérons la définition de la limite:
\[ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_\varepsilon. \]
Multiplions les deux membres par \( b_{n+1} - b_n \), qui est positif:
\[ ( L - \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < ( L + \varepsilon)(b_{n+1} - b_n). \]
Additionnons cette inégalité de \( k = n_\varepsilon \) à \( k = n-1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k). \]
Les sommes sont télescopiques, ce qui signifie que les termes intermédiaires s'annulent. Plus précisément :
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = (a_{n_\varepsilon+1} - a_{n_\varepsilon}) + (a_{n_\varepsilon+2} - a_{n_\varepsilon+1}) + \dots + (a_n - a_{n-1}) = a_n - a_{n_\varepsilon}. \]
Il en va de même pour la somme des \( b_k \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon}. \]
Ainsi, l'inégalité devient :
\[ ( L - \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < ( L + \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) \]
Divisons par \( b_n \)
\[ ( L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) < \frac{a_n}{b_n} - \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < ( L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) \]
et réorganisons les termes:
\[ ( L - \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < ( L + \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} \]
Comme \( b_n \to +\infty \), il en découle que:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0 \]
Enfin, en prenant la limite des membres de l'inégalité:
\[ L - \varepsilon \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} \leq L + \varepsilon \]
Étant donné que \( \varepsilon \) est arbitraire, nous concluons que:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Cela conclut la démonstration du Théorème de Stolz-Cesàro.
La démonstration pour le cas \( n \to -\infty \) suit le même raisonnement utilisé pour \( n \to +\infty \), avec une seule modification : l’intervalle de la somme télescopique.
Pour \( n \to +\infty \), la somme va de \( n_\varepsilon \) jusqu’à \( n-1 \):
\[ \sum_{k = n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Pour \( n \to -\infty \), la somme va de \( n \) jusqu’à \( n_\varepsilon - 1 \):
\[ \sum_{k = n}^{n_\varepsilon - 1} (a_{k+1} - a_k) = a_{n_\varepsilon} - a_n \]
Cela reflète le fait que \( n \to -\infty \), donc \( n \leq n_\varepsilon \).
Le reste de la démonstration reste inchangé, menant à la conclusion:
\[ \lim_{n \to -\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Cela conclut la démonstration pour \( n \to -\infty \).
Corollaire I. Supposons que la suite \(\{a_n\}\) soit telle que:
\[\lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Alors :
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Démonstration. Il s'agit d'un cas particulier du théorème de Stolz-Cesàro. Considérons la suite \(\{b_n\}\) définie par \( b_n = n \) et remarquons que \(b_{n+1} - b_n = 1\), donc:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Finalement, par le théorème de Stolz-Cesàro:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Corollaire II. Soit \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) une suite et considérons la suite de ses moyennes, définie par
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad n \in \mathbb{N} \]
Si \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers la valeur \( L \), alors la suite \( \{\alpha_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) converge également vers la même limite:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \implies \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L \]
Démonstration. Pour démontrer ce résultat, utilisons le théorème de Stolz-Cesàro. Considérons les suites
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad b_n = n \quad n \in \mathbb{N} \]
En réécrivant les limites, on obtient:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} \]
Comme \( \{b_n\} \) est strictement croissante et illimitée, et que \( \{c_n\} \) satisfait les hypothèses du théorème de Stolz-Cesàro, on a :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} a_n = L \]
D'où il s'ensuit que:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L \]
Corollaire III. Supposons maintenant que la suite \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) ait pour limite \( L \) et que \( a_n > 0 \) pour tout \( n \). Alors, la relation suivante est vérifiée :
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Démonstration. Définissons une nouvelle suite
\[ b_n = \log a_n \quad n \in \mathbb{N} \]
La suite \( \{b_n\} \) converge vers \( \log L \). Les moyennes arithmétiques de \( \{b_n\} \) sont
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} b_k = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k}. \]
En appliquant le corollaire II, nous savons que
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \log L, \]
ce qui implique
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Corollaire IV. Soit \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de nombres réels strictement positifs. Le résultat suivant est vérifié :
Si \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\) existe, alors \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\) existe également.
Démonstration. Considérons une nouvelle suite auxiliaire \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) définie de la manière suivante :
\[b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} \quad \text{pour } n \geq 1 \quad \text{et} \quad b_0 = a_0\]
D'après le corollaire III, nous savons que:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \lim_{n \to \infty} b_n = L\]
Observons maintenant que le produit télescopique des \(b_k\) peut être réécrit comme suit :
\[\sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{k-1}} \cdot a_0} = \sqrt[n]{a_n}\]
D'où la thèse suit immédiatement.