Le théorème de Stolz-Cesàro fournit un outil utile pour calculer la limite d'un quotient de suites. Il est particulièrement utile lorsque le dénominateur tend vers l'infini et que le calcul de la limite n'est pas immédiat. Ce théorème représente une généralisation des critères de Cesàro et est souvent utilisé pour simplifier la vérification de convergence de suites.
Sommaire
Théorème de Stolz-Cesàro. Soient \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) et \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) deux suites numériques, avec \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) qui satisfait les propriétés suivantes :
- \( b_n > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
- \( b_{n+1} > b_n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
- \(\lim_{n\to \infty } b_n = +\infty \).
Si la limite existe :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
alors la limite existe aussi :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Démonstration. Supposons que la limite :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
existe et soit égale à \( L \). Nous devons démontrer que :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Considérons la définition de limite :
\[ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_\varepsilon \]
Multiplions les deux membres par \( b_{n+1} - b_n \), qui est positif :
\[ ( L - \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < ( L + \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) \]
Sommons cette inégalité de \( k = n_\varepsilon \) jusqu'à \( k = n-1 \) :
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) \]
Les sommes sont télescopiques, ce qui signifie que les termes intermédiaires s'élident. En détail :
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = (a_{n_\varepsilon+1} - a_{n_\varepsilon}) + (a_{n_\varepsilon+2} - a_{n_\varepsilon+1}) + \dots + (a_n - a_{n-1}) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Il en va de même pour la somme des \( b_k \) :
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon} \]
Donc, l'inégalité devient :
\[ ( L - \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < ( L + \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) \]
Divisons par \( b_n \)
\[ ( L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) < \frac{a_n}{b_n} - \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < ( L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) \]
et réorganisons les termes :
\[ ( L - \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < ( L + \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} \]
Puisque \( b_n \to +\infty \), il s'ensuit que :
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0 \]
Enfin, en prenant la limite aux membres de l'inégalité :
\[ L - \varepsilon \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} \leq L + \varepsilon \]
Étant donné que \( \varepsilon \) est arbitraire, nous concluons que :
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Ceci conclut la démonstration du Théorème de Stolz-Cesàro.
La démonstration pour le cas \( n \to -\infty \) suit le même raisonnement utilisé pour \( n \to +\infty \), avec une seule modification : l'intervalle de la somme télescopique.
Pour \( n \to +\infty \), la somme va de \( n_\varepsilon \) et arrive jusqu'à \( n-1 \) :
\[ \sum_{k = n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Pour \( n \to -\infty \), la somme va de \( n \) et arrive jusqu'à \( n_\varepsilon - 1 \) :
\[ \sum_{k = n}^{n_\varepsilon - 1} (a_{k+1} - a_k) = a_{n_\varepsilon} - a_n \]
Ceci reflète le fait que \( n \to -\infty \), donc \( n \leq n_\varepsilon \).
La partie restante de la démonstration demeure inchangée, menant à la conclusion :
\[ \lim_{n \to -\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Ceci conclut la démonstration pour \( n \to -\infty \).
Corollaire I. Supposons que la suite \(\{a_n\}\) soit telle que :
\[\lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Alors :
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Démonstration. Il s'agit d'un cas particulier du théorème de Stolz-Cesàro. Considérons la suite \(\{b_n\}\) définie par \( b_n = n \) et observons que \(b_{n+1} - b_n = 1\), donc :
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Enfin, par le théorème de Stolz-Cesàro :
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Corollaire II. Soit \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) une suite et considérons la séquence de ses moyennes, définie par
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad n \in \mathbb{N} \]
Si \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers la valeur \( L \), alors la suite \( \{\alpha_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tend aussi vers la même limite :
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \implies \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L \]
Démonstration. Pour démontrer ce résultat, nous utilisons le théorème de Stolz-Cesàro. Considérons les suites
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad b_n = n \quad n \in \mathbb{N} \]
En réécrivant les limites, on obtient :
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} \]
Puisque \( \{b_n\} \) est strictement croissante et illimitée, et \( \{c_n\} \) satisfait les hypothèses du théorème de Stolz-Cesàro, nous avons :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} a_n = L \]
D'où il s'ensuit que :
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L \]
Corollaire III. Supposons maintenant que la suite \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) ait pour limite \( L \) et que \( a_n > 0 \) pour tout \( n \). Alors la relation suivante est valable :
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Démonstration. Définissons une nouvelle suite
\[ b_n = \log a_n \quad n \in \mathbb{N} \]
La suite \( \{b_n\} \) converge vers \( \log L \). Les moyennes arithmétiques de \( \{b_n\} \) sont
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} b_k = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k}. \]
En appliquant le corollaire II, nous savons que
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \log L, \]
ce qui implique
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Corollaire IV. Soit \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de nombres réels strictement positifs. Le résultat suivant est valable :
S'il existe \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\), alors il existe aussi \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\).
Démonstration. Considérons une nouvelle suite auxiliaire \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) définie de la manière suivante :
\[b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} \quad \text{pour } n \geq 1 \quad \text{et} \quad b_0 = a_0\]
Par le corollaire III nous savons que :
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \lim_{n \to \infty} b_n = L\]
Nous observons maintenant que le produit télescopique des \(b_k\) peut être réécrit comme :
\[\sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{k-1}} \cdot a_0} = \sqrt[n]{a_n}\]
D'où suit immédiatement la thèse.