Le théorème de Weierstrass est l'un des résultats fondamentaux de l'analyse mathématique. Il garantit qu'une fonction continue définie sur un intervalle fermé et borné atteint nécessairement une valeur maximale et une valeur minimale.
Table des matières
Théorème de Weierstrass
Soit \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) une fonction continue sur un intervalle fermé et borné \( [a,b] \subseteq \mathbb{R} \). Alors, \( f \) est bornée et admet un maximum et un minimum absolus sur \( [a,b] \).
Démonstration. Considérons l'ensemble des valeurs prises par la fonction \( f \) sur \( [a,b] \), que nous notons \( f([a,b]) \). Puisque \( f \) est continue sur \( [a,b] \), l'image de \( f \) est fermée. De plus, étant donné que \( [a,b] \) est un intervalle fermé et borné, \( f([a,b]) \) est également un ensemble borné.
Définissons :
\[ M = \sup f([a,b]) \quad \text{et} \quad m = \inf f([a,b]). \]
Notre objectif est de montrer qu'il existe des points \( x_M, x_m \in [a,b] \) tels que : \[ f(x_M) = M \quad \text{et} \quad f(x_m) = m. \]
Existence du maximum
Par la définition de \( M \) comme borne supérieure, il existe une suite de valeurs \( \{ y_n \} \subseteq f([a,b]) \) telle que \( y_n \to M \). Cela implique qu'il existe une suite de points \( \{ x_n \} \subseteq [a,b] \) pour laquelle : \[ f(x_n) = y_n \to M. \] La suite \( \{ x_n \} \) étant contenue dans l'intervalle compact \( [a,b] \), le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit l'existence d'une sous-suite \( \{ x_{n_k} \} \) convergeant vers un point \( x \in [a,b] \).
Par la continuité de \( f \), on a : \[ f(x_{n_k}) \to f(x). \] Or, puisque \( f(x_{n_k}) \to M \), il s'ensuit que : \[ f(x) = M. \] Par conséquent, il existe au moins un point \( x_M \in [a,b] \) tel que \( f(x_M) = M \).
Existence du minimum
Procédons de la même manière pour démontrer l'existence du minimum. Par la définition de \( m \) comme borne inférieure, il existe une suite \( \{ z_n \} \subseteq f([a,b]) \) telle que \( z_n \to m \). Ainsi, il existe une suite de points \( \{ w_n \} \subseteq [a,b] \) pour laquelle : \[ f(w_n) = z_n \to m. \] Cette suite \( \{ w_n \} \) est également contenue dans \( [a,b] \). En appliquant de nouveau le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite \( \{ w_{n_k} \} \) qui converge vers un point \( x' \in [a,b] \).
Par la continuité de \( f \), on a : \[ f(w_{n_k}) \to f(x'). \] Puisque \( f(w_{n_k}) \to m \), il en découle que : \[ f(x') = m. \] Ainsi, il existe un point \( x_m \in [a,b] \) tel que \( f(x_m) = m \).
Nous avons ainsi démontré que la fonction continue \( f \) définie sur un intervalle fermé et borné \( [a,b] \) est bornée et atteint ses valeurs maximale et minimale en au moins un point de \( [a,b] \).