Variance de la Loi Gamma

Dans cette section, nous examinerons les étapes nécessaires pour calculer la variance d’une variable aléatoire suivant une loi Gamma. Le calcul de la variance implique de déterminer certains moments de la distribution, en particulier le second moment \(\mathbb{E}(X^2)\) et le premier moment \(\mathbb{E}(X)\).

Tout d’abord, nous calculerons le second moment \(\mathbb{E}(X^2)\) en résolvant une intégrale qui fait intervenir la fonction de densité de probabilité de la loi Gamma. Ensuite, nous simplifierons le calcul à l’aide d’un changement de variable et utiliserons les propriétés de la fonction Gamma pour obtenir une expression explicite. Enfin, nous appliquerons la définition \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2\) pour calculer la variance, une fois la valeur du premier moment déterminée.

• Détermination du Second Moment
• Changement de Variable
• Utilisation de la Fonction Gamma
• Calcul de la Variance
• Signification des Paramètres
• Exemple Numérique d’Espérance et de Variance

Pour calculer la variance d’une variable aléatoire \(X\), la première étape consiste à déterminer l’espérance de \(X^2\), notée \(\mathbb{E}(X^2)\). Cette valeur peut s’écrire sous la forme de l’intégrale suivante :

\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{+\infty} x^2 f_X(x) \, dx \]

En remplaçant la fonction de densité \(f_X(x)\) de la loi Gamma, nous obtenons :

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} x^{a+1} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \]

Pour simplifier le calcul, nous effectuons un changement de variable \(y = \frac{x}{\lambda}\), ce qui implique \(x = \lambda y\) et \(dx = \lambda \, dy\). En substituant dans l’intégrale précédente, nous obtenons :

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} \lambda^{a+1} y^{a+1} e^{-y} \, \lambda \, dy \]

En regroupant les termes, nous avons :

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^{a+2}}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} y^{(a+2)-1} e^{-y} \, dy \]

L’intégrale obtenue correspond à la définition de la fonction Gamma :

\[ \int_{0}^{+\infty} y^{k-1} e^{-y} \, dy = \Gamma(k) \]

En remplaçant \(k = a+2\), nous obtenons :

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^2}{\Gamma(a)} \Gamma(a+2) \]

En utilisant la propriété \(\Gamma(a+2) = (a+1)a\Gamma(a)\), nous concluons que :

\[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1)a\lambda^2 \]

La variance est définie par :

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \]

Pour une variable aléatoire suivant une loi Gamma, la définition de la distribution nous donne :

\[ \mathbb{E}(X) = a\lambda \]

En élevant au carré :

\[ \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 = (a\lambda)^2 = a^2\lambda^2 \]

En remplaçant ces résultats :

\[ \text{Var}(X) = (a+1)a\lambda^2 - a^2\lambda^2 \]

En simplifiant :

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

Ainsi, nous avons dérivé l’expression analytique de la variance d’une variable aléatoire \(X\) suivant une loi Gamma :

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

Le paramètre \(a\) (aussi appelé « paramètre de forme ») détermine la forme de la loi Gamma. En particulier, il contrôle le comportement de la queue et la dispersion générale de la distribution. Des valeurs plus élevées de \(a\) tendent à concentrer la distribution autour de la moyenne.

Le paramètre \(\lambda\) (aussi appelé « paramètre d’échelle ») régule le degré de dispersion de la loi Gamma. Des valeurs plus élevées de \(\lambda\) entraînent une distribution plus étalée, augmentant ainsi la variance de la variable aléatoire \(X\).

Par conséquent, la variance \(\text{Var}(X) = a\lambda^2\) met en évidence comment la dispersion de \(X\) est influencée par \(a\) et \(\lambda\), rendant l’analyse des moments essentielle pour comprendre les propriétés statistiques de la loi Gamma.

Supposons qu’une variable aléatoire \(X\) suive une loi Gamma avec les paramètres \(a = 3\) (paramètre de forme) et \(\lambda = 2\) (paramètre d’échelle). L’objectif est de calculer la variance de \(X\).

Tout d’abord, calculons l’espérance \(\mathbb{E}(X)\). Pour une variable aléatoire suivant une loi Gamma, l’espérance est donnée par la relation : \[ \mathbb{E}(X) = a \cdot \lambda \] En remplaçant les valeurs des paramètres \(a\) et \(\lambda\), nous obtenons : \[ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot 2 = 6 \] Ainsi, l’espérance de la variable aléatoire \(X\) est 6.

Ensuite, calculons le second moment \(\mathbb{E}(X^2)\). Celui-ci peut être déterminé en utilisant la relation : \[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1) \cdot a \cdot \lambda^2 \] En remplaçant les valeurs des paramètres, nous avons : \[ \mathbb{E}(X^2) = (3+1) \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \] Ainsi, le second moment de la variable aléatoire \(X\) est 48.

Enfin, calculons la variance \(\text{Var}(X)\) en utilisant la définition : \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \] En remplaçant les valeurs calculées pour \(\mathbb{E}(X^2)\) et \(\mathbb{E}(X)\), nous obtenons : \[ \text{Var}(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \]

Ainsi, la variance de la variable aléatoire \(X\) est \(\text{Var}(X) = 12\).