Dans cette section, nous examinerons les étapes permettant de calculer la variance d'une variable aléatoire qui suit une distribution Gamma. Le calcul de la variance nécessite la détermination de certains moments de la distribution, en particulier le second moment \(\mathbb{E}(X^2)\) et le premier moment \(\mathbb{E}(X)\).
Dans un premier temps, nous calculerons le second moment \(\mathbb{E}(X^2)\) en résolvant une intégrale faisant intervenir la fonction de densité de probabilité de la distribution Gamma. Par la suite, nous simplifierons le calcul au moyen d'un changement de variable et utiliserons les propriétés de la fonction Gamma pour obtenir une expression explicite. Enfin, nous calculerons la variance en utilisant la définition \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2\), une fois établie la valeur du premier moment.
Sommaire
- Calcul du Second Moment
- Changement de Variable
- Utilisation de la Fonction Gamma
- Calcul de la Variance
- Signification des Paramètres
- Exemple Numérique pour l'Espérance et la Variance
Calcul du Second Moment
Pour calculer la variance d'une variable aléatoire \(X\), la première étape consiste à déterminer l'espérance de \(X^2\), notée \(\mathbb{E}(X^2)\). Cette valeur peut s'exprimer à travers l'intégrale suivante :
\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{+\infty} x^2 f_X(x) \, dx \]
En substituant la fonction de densité de probabilité \(f_X(x)\) de la distribution Gamma, nous obtenons :
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} x^{a+1} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \]
Changement de Variable
Afin de simplifier le calcul, nous effectuons un changement de variable \(y = \frac{x}{\lambda}\), ce qui implique \(x = \lambda y\) et \(dx = \lambda \, dy\). En substituant dans l'intégrale précédente, nous obtenons :
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} \lambda^{a+1} y^{a+1} e^{-y} \, \lambda \, dy \]
En regroupant les termes, il vient :
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^{a+2}}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} y^{(a+2)-1} e^{-y} \, dy \]
Utilisation de la Fonction Gamma
L'intégrale résultante correspond à la définition de la fonction Gamma :
\[ \int_{0}^{+\infty} y^{k-1} e^{-y} \, dy = \Gamma(k) \]
En posant \(k = a+2\), nous obtenons :
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^2}{\Gamma(a)} \Gamma(a+2) \]
En utilisant la propriété \(\Gamma(a+2) = (a+1)a\Gamma(a)\), nous concluons que :
\[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1)a\lambda^2 \]
Calcul de la Variance
La variance est définie par :
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \]
Pour une variable aléatoire qui suit une distribution Gamma, la définition de la distribution nous donne :
\[ \mathbb{E}(X) = a\lambda \]
En élevant au carré, nous obtenons :
\[ \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 = (a\lambda)^2 = a^2\lambda^2 \]
En substituant ces résultats :
\[ \text{Var}(X) = (a+1)a\lambda^2 - a^2\lambda^2 \]
En simplifiant, nous obtenons :
\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]
Ainsi, nous avons établi l'expression analytique de la variance d'une variable aléatoire \(X\) qui suit une distribution Gamma :
\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]
Signification des Paramètres
Le paramètre \(a\) (également appelé « paramètre de forme ») détermine la forme de la distribution Gamma. En particulier, il contrôle le comportement de la queue et la dispersion générale de la distribution. Des valeurs plus élevées de \(a\) tendent à concentrer la distribution autour de la moyenne.
Le paramètre \(\lambda\) (connu également sous le nom de « paramètre d'échelle ») régule le degré de dispersion de la distribution Gamma. Des valeurs plus importantes de \(\lambda\) produisent une distribution plus dispersée, augmentant ainsi la variance de la variable aléatoire \(X\).
Par conséquent, la variance \(\text{Var}(X) = a\lambda^2\) met en évidence comment la dispersion de \(X\) est influencée à la fois par le paramètre \(a\) et par le paramètre \(\lambda\), rendant l'analyse des moments fondamentale pour comprendre les propriétés statistiques de la distribution Gamma.
Exemple Numérique pour l'Espérance et la Variance
Supposons qu'une variable aléatoire \(X\) suive une distribution Gamma avec les paramètres \(a = 3\) (paramètre de forme) et \(\lambda = 2\) (paramètre d'échelle). L'objectif est de calculer la variance de \(X\).
Nous commençons par calculer l'espérance \(\mathbb{E}(X)\). Pour une variable aléatoire de distribution Gamma, l'espérance est donnée par la relation : \[ \mathbb{E}(X) = a \cdot \lambda \] En substituant les valeurs des paramètres \(a\) et \(\lambda\), on obtient : \[ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot 2 = 6 \] Par conséquent, l'espérance de la variable aléatoire \(X\) est égale à 6.
Ensuite, nous calculons le second moment \(\mathbb{E}(X^2)\). Celui-ci peut être déterminé en utilisant la relation : \[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1) \cdot a \cdot \lambda^2 \] En substituant les valeurs des paramètres, nous avons : \[ \mathbb{E}(X^2) = (3+1) \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \] Par conséquent, le second moment de la variable aléatoire \(X\) est égal à 48.
Enfin, nous calculons la variance \(\text{Var}(X)\) en utilisant la définition : \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \] En substituant les valeurs calculées précédemment, nous obtenons : \[ \text{Var}(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \] Par conséquent, la variance de la variable aléatoire \(X\) est égale à 12.
En conclusion, pour une variable aléatoire \(X\) de distribution Gamma avec les paramètres \(a = 3\) et \(\lambda = 2\), l'espérance s'avère être \(6\) et la variance s'avère être \(12\). Ces résultats indiquent que les valeurs de \(X\) tendent, en moyenne, à se concentrer autour de 6, tandis que la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne est modérée, avec une variance égale à 12.