Una funzione è una relazione tra due insiemi, in cui a ogni elemento del dominio corrisponde un unico elemento del codominio. In questa sezione analizzeremo la definizione formale, il dominio, il codominio, l'immagine e le proprietà principali come iniettività, suriettività e biettività.
- Definizione di Funzione
- Dominio, Codominio e Immagine
- Esempi di Funzioni
- Proprietà delle Funzioni
- Funzioni Iniettive
- Funzioni Non Iniettive
- Esercizi sulle Funzioni Iniettive
- Funzioni Suriettive
- Funzioni Non Suriettive
- Esercizi sulle Funzioni Suriettive
- Qualche Esempio
- Funzioni Biiettive
- Funzione Inversa
- Esercizi sulle Funzioni Biiettive
- Restrizione di una Funzione
- Esempio di Restrizione: Funzione Logaritmica
- Esercizi sulla Restrizione di Funzioni
Definizione di Funzione
Formalmente, una funzione è una legge (o mappa) che associa a ogni elemento di un insieme \(X\) (denominato dominio) un unico elemento di un altro insieme \(Y\) (denominato codominio). La notazione utilizzata per esprimere una funzione è la seguente:
\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]
Oppure:
\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]
In tal modo, si afferma che la funzione \(f\) è definita sull'insieme \(X\) e i valori assunti appartengono all'insieme \(Y\). Con il termine \(f(x)\) si intende l'elemento \(y \in Y\) che è associato ad ogni \(x \in X\), con la funzione \(f\) che specifica la legge di corrispondenza tra gli elementi di \(X\) e quelli di \(Y\).
Dominio, Codominio e Immagine
Come accennato precedentemente, il dominio di una funzione \(f\) è l'insieme \(X\) costituito da tutti gli elementi per i quali la funzione è definita. Formalmente:
\[ \text{Dom}(f) = X \]
Per esempio, la funzione:
\[ f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2+1} \]
è definita su tutta la retta reale. Dunque \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). L'immagine è invece l'insieme dei valori assunti dalla funzione, che in questo caso particolare è \( \text{Imm}(f) = (0, 1] \).
Il codominio è l'insieme \(Y\) che contiene tutti i valori che possono essere raggiunti tramite la funzione \(f\), benché non tutti questi valori debbano necessariamente essere effettivamente ottenuti. L'immagine (o range) di una funzione \(f\) è l'insieme degli elementi di \(Y\) che sono effettivamente raggiunti dalla funzione, ed è definita come:
\[ \text{Imm}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \, : \, f(x) = y \} \]
Esempi di Funzioni
Un esempio classico di funzione è la funzione lineare, che rappresenta la retta e che può essere formalmente scritta come:
\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]
dove \(m\) e \(q\) sono costanti reali. Un altro esempio significativo è la funzione quadratica, che descrive una parabola e si esprime con:
\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]
Proprietà delle Funzioni
Le funzioni possiedono alcune proprietà fondamentali che permettono di caratterizzarle in modo più preciso.
Funzioni Iniettive
Una funzione \( f: X \to Y \) si dice iniettiva se a valori distinti corrispondono immagini distinte. In altre parole, se due elementi di \( X \) sono distinti, le loro immagini mediante \( f \) sono anch'esse distinte. In termini matematici, la funzione è iniettiva se:
\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]
Un altro modo di dire che una funzione è iniettiva è che, se due elementi sono mappati nello stesso valore, devono essere uguali. Ovvero:
\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]
Un esempio di funzione iniettiva è la funzione \( f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita come \( f(x) = x^3 \). Vediamo perché questa funzione è iniettiva:
- Se \( x_1 \neq x_2 \), allora \( x_1^3 \neq x_2^3 \), il che significa che le immagini di \( x_1 \) e \( x_2 \) sono distinte.
- In altre parole, per ogni coppia di valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \) appartenenti a \( \mathbb{R} \), i loro cubi non saranno mai uguali.
Funzioni Non Iniettive
Non tutte le funzioni sono iniettive. Una funzione si dice non iniettiva quando esistono almeno due elementi distinti di \( X \) che hanno la stessa immagine in \( Y \). In altre parole, esistono \( x_1 \neq x_2 \) tale che \( f(x_1) = f(x_2) \).
Esempi di funzioni non iniettive includono:
- La funzione quadratica \( f(x) = x^2 \), che non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Infatti, \( f(2) = f(-2) = 4 \), ma \( 2 \neq -2 \), quindi \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva.
- La funzione seno \( f(x) = \sin(x) \), che non è iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), ma \( 0 \neq \pi \), quindi non è iniettiva.
Esercizi sulle Funzioni Iniettive
Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 2x + 3 \) è iniettiva.
Soluzione: La funzione è iniettiva se, per ogni coppia di valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \), le immagini \( f(x_1) \) e \( f(x_2) \) sono distinte. Supponiamo che \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè:
\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]
Sottraendo 3 da entrambi i membri otteniamo:
\[ 2x_1 = 2x_2 \]
Dividendo per 2:
\[ x_1 = x_2 \]
Poiché \( x_1 = x_2 \), la funzione è iniettiva.
Esercizio 2: Determina se la funzione \( f(x) = x^2 \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Infatti, consideriamo i valori \( x_1 = -2 \) e \( x_2 = 2 \). Entrambi soddisfano \( f(x_1) = f(x_2) \), ovvero:
\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \]
Ma \( -2 \neq 2 \), quindi la funzione non è iniettiva. La funzione è iniettiva solo se definita su \( \mathbb{R}^+ \) o \( \mathbb{R}^- \), poiché in questi domini ogni numero ha un unico quadrato positivo.
Esercizio 3: Verifica se la funzione \( f(x) = \sin(x) \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché esistono più valori di \( x \) che danno lo stesso risultato. Ad esempio, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), ma \( 0 \neq \pi \). Quindi la funzione non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Se limitassimo il dominio della funzione, per esempio a \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \), la funzione sarebbe iniettiva.
Esercizio 4: Determina se la funzione \( f(x) = \ln(x) \) è iniettiva sul dominio \( (0, \infty) \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = \ln(x) \) è iniettiva sul dominio \( (0, \infty) \), poiché, se \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), allora necessariamente \( x_1 = x_2 \). Questo è vero per tutti i valori di \( x_1 \) e \( x_2 \) appartenenti al dominio \( (0, \infty) \).
Esercizio 5: Verifica se la funzione \( f(x) = \frac{1}{x} \) è iniettiva su \( \mathbb{R}^* \) (tutti i reali tranne 0).
Soluzione: La funzione \( f(x) = \frac{1}{x} \) è iniettiva su \( \mathbb{R}^* \), perché se \( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \), allora \( x_1 = x_2 \), dato che i numeri non possono essere uguali a meno che le frazioni non lo siano.
Funzioni Suriettive
Una funzione \( f: X \to Y \) è suriettiva se, per ogni \( y \in Y \), esiste almeno un \( x \in X \) tale che:
\[ f(x) = y \]
In altre parole, una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio \( Y \) è l'immagine di almeno un elemento di \( X \).
Un esempio di funzione suriettiva è la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definita come \( f(x) = x^3 \). Vediamo perché questa funzione è suriettiva:
- Per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( x^3 = y \). Ad esempio, se \( y = 8 \), allora \( x = 2 \) poiché \( 2^3 = 8 \).
- In generale, per ogni valore di \( y \), esiste un valore \( x \) che soddisfa \( x^3 = y \), quindi la funzione è suriettiva.
Funzioni Non Suriettive
Una funzione si dice non suriettiva se esiste almeno un elemento \( y \in Y \) che non è immagine di alcun elemento \( x \in X \). In altre parole, esistono valori nel codominio \( Y \) che non sono immagine di nessun elemento nel dominio \( X \).
Esempi di funzioni non suriettive includono:
- La funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Il codominio di questa funzione è \( \mathbb{R}^+ \) (i numeri reali non negativi), quindi non ci sono valori di \( x \) che diano risultati negativi. Ad esempio, non esiste alcun \( x \) tale che \( f(x) = -1 \), quindi la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
- La funzione \( f(x) = \sin(x) \), definita su \( \mathbb{R} \), ha come codominio l'intervallo \( [-1, 1] \). Quindi, per esempio, non esiste alcun valore di \( x \) che possa dare \( f(x) = 2 \), pertanto la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
Esercizi sulle Funzioni Suriettive
Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 2x + 3 \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Soluzione: La funzione è suriettiva se per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x) = y \). Supponiamo di avere \( y \in \mathbb{R} \). Risolvendo l'equazione \( f(x) = 2x + 3 = y \), otteniamo:
\[ 2x = y - 3 \]
\[ x = \frac{y - 3}{2} \]
Poiché \( x \) esiste per ogni \( y \in \mathbb{R} \), la funzione è suriettiva.
Esercizio 2: Determina se la funzione \( f(x) = x^2 \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), perché non esistono valori di \( x \) tali che \( f(x) = -1 \) (poiché il quadrato di un numero reale è sempre non negativo). Il codominio di questa funzione è \( \mathbb{R}^+ \), quindi non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
Esercizio 3: Verifica se la funzione \( f(x) = \sin(x) \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), perché il valore di \( \sin(x) \) è limitato all'intervallo \( [-1, 1] \). Quindi non esistono valori di \( x \) che possano dare \( \sin(x) = 2 \), pertanto non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
Qualche Esempio
Esercizio 4: Determina se la funzione \( f(x) = \ln(x) \) è suriettiva su \( (0, \infty) \) da \( (0, \infty) \) a \( \mathbb{R} \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = \ln(x) \) è suriettiva da \( (0, \infty) \) a \( \mathbb{R} \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in (0, \infty) \) tale che \( \ln(x) = y \). Infatti, se \( y \in \mathbb{R} \), possiamo trovare \( x = e^y \) tale che \( \ln(x) = y \).
Esercizio 5: Verifica se la funzione \( f(x) = \frac{1}{x} \) è suriettiva su \( \mathbb{R}^* \) (tutti i reali tranne 0) da \( \mathbb{R}^* \) a \( \mathbb{R}^* \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = \frac{1}{x} \) è suriettiva su \( \mathbb{R}^* \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R}^* \), esiste un \( x \in \mathbb{R}^* \) tale che \( \frac{1}{x} = y \). Infatti, se \( y \in \mathbb{R}^* \), possiamo trovare \( x = \frac{1}{y} \) tale che \( f(x) = y \).
Funzioni Biiettive
Una funzione \( f \) si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. In tale caso, \( f \) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra gli elementi del dominio e quelli del codominio, e ammette una funzione inversa:
\[ f^{-1}: Y \to X \]
Tale inversa soddisfa la relazione:
\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{dove} \quad f(x) = y \]
La funzione inversa \( f^{-1} \) è definita per ogni \( y \in Y \), ed è sia una funzione inversa destra che sinistra, poiché per ogni \( y \in Y \) soddisfa le seguenti identità:
\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]
Esempio di Funzione Biiettiva
Consideriamo la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita come \( f(x) = 2x + 1 \). Verifichiamo che questa funzione è biiettiva:
- La funzione è iniettiva: supponiamo che \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). Risolvendo, otteniamo \( x_1 = x_2 \), quindi la funzione è iniettiva.
- La funzione è suriettiva: per ogni \( y \in \mathbb{R} \), possiamo risolvere l'equazione \( 2x + 1 = y \), ottenendo \( x = \frac{y - 1}{2} \), che è un valore reale per ogni \( y \in \mathbb{R} \). Quindi, la funzione è suriettiva.
- Poiché la funzione è sia iniettiva che suriettiva, è biiettiva e ammette una funzione inversa \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \).
Funzione Inversa
La funzione inversa \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \) soddisfa le seguenti identità:
- Per ogni \( y \in \mathbb{R} \), \( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{y - 1}{2}\right) + 1 = y \), quindi la relazione \( f(f^{-1}(y)) = y \) è soddisfatta.
- Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \), quindi la relazione \( f^{-1}(f(x)) = x \) è soddisfatta.
Esempio di Funzione Non Biiettiva
Consideriamo la funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Questa funzione non è biiettiva, poiché:
- Non è iniettiva: ad esempio, \( f(2) = 4 \) e \( f(-2) = 4 \), ma \( 2 \neq -2 \), quindi la funzione non è iniettiva.
- Non è suriettiva: ad esempio, non esiste alcun \( x \) tale che \( f(x) = -1 \), quindi la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
- Poiché non è né iniettiva né suriettiva, non è biiettiva e quindi non ammette una funzione inversa su \( \mathbb{R} \).
Esercizi sulle Funzioni Biiettive
Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 3x - 4 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Se è biiettiva, scrivi la funzione inversa.
Soluzione: La funzione è iniettiva perché se \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), otteniamo \( x_1 = x_2 \). Inoltre, è suriettiva perché per ogni \( y \in \mathbb{R} \), possiamo risolvere \( 3x - 4 = y \) per ottenere \( x = \frac{y + 4}{3} \). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3} \).
Esercizio 2: Verifica se la funzione \( f(x) = x^2 \) è biiettiva da \( \mathbb{R}^+ \) a \( \mathbb{R}^+ \).
Soluzione: La funzione è iniettiva su \( \mathbb{R}^+ \) perché \( x_1^2 = x_2^2 \) implica \( x_1 = x_2 \) per \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+ \). È anche suriettiva su \( \mathbb{R}^+ \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R}^+ \), esiste un \( x = \sqrt{y} \) tale che \( f(x) = y \). La funzione è quindi biiettiva su \( \mathbb{R}^+ \) e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).
Esercizio 3: Determina se la funzione \( f(x) = x^3 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Scrivi la funzione inversa.
Soluzione: La funzione \( f(x) = x^3 \) è sia iniettiva (poiché \( x_1^3 = x_2^3 \) implica \( x_1 = x_2 \)) che suriettiva (per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x = \sqrt[3]{y} \) tale che \( f(x) = y \)). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).
Esercizi Addizionali
Esercizio 4: Verifica se la funzione \( f(x) = e^x \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( (0, \infty) \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = e^x \) è iniettiva (poiché \( e^{x_1} = e^{x_2} \) implica \( x_1 = x_2 \)) e suriettiva su \( (0, \infty) \), poiché per ogni \( y \in (0, \infty) \), esiste un \( x = \ln(y) \) tale che \( f(x) = y \). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \ln(y) \).
Esercizio 5: Determina se la funzione \( f(x) = x + 2 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Soluzione: La funzione \( f(x) = x + 2 \) è biiettiva, poiché è sia iniettiva che suriettiva. La funzione inversa è \( f^{-1}(y) = y - 2 \).
Restrizione di una Funzione
La restrizione di una funzione è un concetto di fondamentale importanza, che consente di restringere il dominio di una funzione a un sottoinsieme specifico. Questa operazione è particolarmente utile quando si desidera garantire che una funzione sia iniettiva e suriettiva, condizioni necessarie per l'invertibilità. Ad esempio, consideriamo la funzione quadratica \( f(x) = x^2 \), la quale non è iniettiva su \( \mathbb{R} \) poiché per ogni \( y > 0 \) esistono due preimmagini \( x_1 = \sqrt{y} \) e \( x_2 = -\sqrt{y} \). Tuttavia, restringendo il dominio a \( [0, +\infty) \), otteniamo una funzione iniettiva, permettendo così l'esistenza di una funzione inversa definita.
Esempio di Restrizione: Funzione Quadratica
Consideriamo la funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Questa funzione non è iniettiva, perché esistono due valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \) tali che \( f(x_1) = f(x_2) \). Ad esempio, \( f(2) = f(-2) = 4 \). Tuttavia, se restringiamo il dominio di \( f(x) \) al sottoinsieme \( [0, +\infty) \), la funzione diventa iniettiva. Infatti, per \( x_1, x_2 \in [0, +\infty) \), l'uguaglianza \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \), garantendo che la funzione sia ora iniettiva.
La restrizione della funzione a \( [0, +\infty) \) rende la funzione iniettiva, e possiamo definire la sua funzione inversa:
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]
Esempio di Restrizione: Funzione Logaritmica
Consideriamo la funzione logaritmica \( f(x) = \ln(x) \), definita su \( (0, +\infty) \). La funzione è iniettiva e suriettiva se il codominio è \( \mathbb{R} \), dunque è biunivoca. Tuttavia, se restringiamo il dominio a \( [1, +\infty) \), l'immagine diventa \( [0, +\infty) \) e la funzione rimane iniettiva. In questo caso, la funzione inversa è:
\[ f^{-1}(y) = e^y, \quad y \in [0, +\infty) \]
Altri Esempi di Restrizione
La restrizione di una funzione può essere applicata in vari contesti per semplificare il comportamento della funzione o per adattarla a un contesto specifico:
- Se \( f(x) = \sin(x) \) su \( \mathbb{R} \), possiamo restringere il dominio a \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) per renderla iniettiva. In questo caso, la funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).
- Se \( f(x) = \tan(x) \), definita su \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), la funzione è iniettiva e suriettiva su questo dominio, e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).
Esercizi sulla Restrizione di Funzioni
Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = x^3 \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Quindi, restringi il dominio in modo che la funzione sia biiettiva e trova la sua funzione inversa.
Soluzione: La funzione \( f(x) = x^3 \) è già iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \). Non è necessario fare alcuna restrizione, e la funzione inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).
Esercizio 2: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Restringi il dominio a un intervallo in cui la funzione sia iniettiva e trova la funzione inversa.
Soluzione: Per rendere la funzione iniettiva, restringiamo il dominio a \( [0, +\infty) \). In questo caso, la funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \), con \( y \geq 0 \).
Esercizio 3: Considera la funzione \( f(x) = \ln(x) \) definita su \( (0,+\infty) \). Restringi il dominio a \( [1,+\infty) \) e scrivi la funzione inversa.
Soluzione: La funzione logaritmica è iniettiva e suriettiva su \( (0,+\infty) \) (con codominio \( \mathbb{R} \)). Se restringiamo il dominio a \( [1,+\infty) \), l'immagine diventa \( [0,+\infty) \) (poiché \( \ln(1)=0 \) e \( \ln(x) \) è strettamente crescente). Di conseguenza, la funzione inversa è:
$$ f^{-1}(y)=e^y, \quad y\in [0,+\infty). $$
Esercizio 4: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Restringi il dominio a un intervallo in cui la funzione sia iniettiva e trova la funzione inversa.
Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) è iniettiva su \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). La funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).
La restrizione di una funzione consente di manipolare il dominio di una funzione per ottenere proprietà desiderate come l'iniettività, la suriettività o la biiettività.
