In analisi matematica, una successione è una legge che associa a ogni numero naturale \( n \in \mathbb{N} \) un elemento \( a_n \) appartenente a un insieme \( X \). In altri termini, una successione è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali a valori in \( X \).
Definizione
Formalmente, una successione è definita come una funzione:
\begin{align} a \,\, : \,\, & \mathbb{N} \rightarrow X \\ & n \rightarrow a(n) \end{align}
In questa definizione, \( \mathbb{N} \) indica l'insieme dei numeri naturali, ovvero \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} \). L'insieme \( X \) rappresenta l'insieme di arrivo, che può essere l'insieme dei numeri reali \( \mathbb{R} \), dei numeri complessi \( \mathbb{C} \), dei numeri interi \( \mathbb{Z} \) o un altro insieme numerico o non numerico.
La funzione \( a \) associa a ogni numero naturale \( n \) un elemento \( a(n) \) appartenente all'insieme \( X \). Il valore \( a(n) \) viene detto termine \( n \)-esimo della successione e si denota solitamente con \( a_n \), ossia \( a_n = a(n) \). Il termine \( a_n \) indica quindi il valore assunto dalla successione in corrispondenza dell'indice \( n \).
Una successione può essere rappresentata esplicitamente mediante l'elenco ordinato dei suoi termini:
\[ a_0, a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \]
La notazione più utilizzata per indicare una successione è \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) o, in alternativa, \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Entrambe le scritture esprimono il fatto che la successione è composta dai termini \( a_n \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \).
Nel caso in cui l'insieme \( X \) sia costituito dai numeri reali \( \mathbb{R} \) o complessi \( \mathbb{C} \), la successione viene detta numerica. Più precisamente, se \( X = \mathbb{R} \), la successione è detta successione reale, mentre se \( X = \mathbb{C} \), si parla di successione complessa.
Ad esempio, la successione definita da \( a_n = \frac{1}{n} \) con \( n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) è una successione reale, poiché ciascun termine appartiene all'insieme dei numeri reali.
Le successioni possono anche avere valori in insiemi non numerici. È possibile definire successioni di vettori, matrici o elementi di un alfabeto, a seconda del contesto di studio.
Dal punto di vista grafico, le successioni numeriche possono essere rappresentate associando a ogni indice \( n \) il valore corrispondente del termine \( a_n \). Questa rappresentazione consente di visualizzare l'andamento della successione.
Ad esempio, la successione definita da \( a_n = n^2 \) può essere rappresentata graficamente come una serie di punti, i cui valori aumentano seguendo una crescita quadratica:
\[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots \]
Esempi
Successioni Ricorsive
Una successione ricorsiva si definisce specificando i valori iniziali e una regola che permette di calcolare ogni termine successivo a partire dal precedente. Ad esempio, il fattoriale di un numero naturale \( n \) è definito come:
\[ 0! = 1 \quad, \quad n! = n\cdot (n-1)! \]
In modo analogo, anche la potenza di 2 può essere definita ricorsivamente:
\[ 2^0 = 1 \quad , \quad 2^n = 2 \cdot 2^{n-1} \]
Più in generale, per ogni \( 0 \neq x \in \mathbb{R} \), abbiamo:
\[ x^0 = 1 \quad , \quad x^n = x\cdot x^{n-1} \]
Un altro esempio comune è la successione di Fibonacci, definita come:
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \quad , \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \]
Successioni Finite
Si definisce successione finita una successione costituita da un numero finito di termini, ossia se esiste un \( N \in \mathbb{N} \) tale che \( a_n \) è definito solo per \( n \leq N \). Viceversa, si parla di successione infinita se \( a_n \) è definito per ogni \( n \in \mathbb{N} \).
Le successioni infinite sono quelle maggiormente utilizzate in analisi matematica e rappresentano uno strumento essenziale per lo studio delle serie, delle funzioni e dei limiti.
Successioni Monotone
Una successione si dice monotona se i suoi termini mantengono un andamento costante, ovvero se sono non decrescenti o non crescenti. La monotonia di una successione può manifestarsi in due forme distinte.
Successione Crescente
Si definisce successione crescente una successione in cui ogni termine è minore o uguale al termine successivo. Formalmente, la successione \( \{ a_n \} \) è crescente se:
\[ a_n \leq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Se la disuguaglianza è stretta, ovvero se \( a_n < a_{n+1} \) per ogni \( n \), la successione si dice strettamente crescente.
Esempio: La successione \( a_n = n \) è strettamente crescente, poiché:
\[ 0 < 1 < 2 < 3 < \dots \]
Successione Decrescente
Una successione si dice decrescente se ogni termine è maggiore o uguale al successivo. Formalmente:
\[ a_n \geq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Se la disuguaglianza è stretta, ovvero se \( a_n > a_{n+1} \) per ogni \( n \), la successione si dice strettamente decrescente.
Un esempio di successione decrescente è \( a_n = \frac{1}{n} \), che assume i valori:
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Successioni Limitate
Una successione \( \{ a_n \} \) si dice limitata se esiste un numero reale \( M \) tale che:
\[ |a_n| \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
In questo caso, \( M \) è detto maggiorante della successione. Se invece vale:
\[ m \leq a_n \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
allora la successione è detta limitata superiormente e inferiormente, dove \( M \) è un maggiorante e \( m \) un minorante.
Ad esempio, la successione \( a_n = (-1)^n \) è limitata, poiché i suoi termini oscillano tra \( -1 \) e \( 1 \).
Successioni Illimitate
Una successione è detta illimitata se i suoi termini crescono o decrescono indefinitamente. Formalmente, \( \{ a_n \} \) è illimitata se:
\[ \forall M \in \mathbb{R}, \; \exists n \in \mathbb{N} \; \text{tale che} \; |a_n| > M \]
Un esempio è la successione \( a_n = n \), che non è limitata superiormente.
Successioni Oscillanti
Si definisce oscillante una successione i cui termini non tendono a stabilizzarsi né a crescere o decrescere in modo monotono, ma variano continuamente.
Ad esempio, la successione \( a_n = (-1)^n \) oscilla tra \( 1 \) e \( -1 \) senza convergere verso un valore definito.
Questa successione è sia oscillante che limitata.
Successioni Costanti
Una successione costante è un caso particolare di successione monotona in cui tutti i termini sono uguali. Formalmente, una successione è costante se:
\[ a_n = c \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Un esempio semplice è la successione \( a_n = 5 \), che produce l'elenco:
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Questa successione è monotona crescente e decrescente allo stesso tempo, ed è anche limitata.
Successioni Periodiche
Una successione è detta periodica se esiste un numero naturale \( T > 0 \) tale che:
\[ a_{n+T} = a_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Il minimo valore di \( T \) per cui questa proprietà si verifica è detto periodo della successione.
Un esempio di successione periodica è \( a_n = \sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) \), che ha periodo 3.
