Sia \( a \neq 0 \) e sia \( n \in \mathbb{N} \). La potenza \( n \)-esima di \( a \), denotata con il simbolo \( a^n \), è definita come il prodotto di \( a \) per se stesso \( n \) volte. In formule, tale prodotto si esprime come:
\[ a^n := \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ volte}} \]
Il numero \( a \) è detto base della potenza, \( n \) è invece l'esponente della potenza.
Indice
Proprietà delle Potenze
Siano \( a \) e \( b \) numeri reali diversi da zero, e siano \( m \) e \( n \) numeri interi. Le potenze godono delle seguenti proprietà fondamentali:
Prodotto di potenze con la stessa base:
Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Per definizione:
\[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ volte}} \quad , \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ volte}} \]
Quindi, moltiplicando le due potenze:
\[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ volte}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ volte}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m+n \text{ volte}} = a^{m+n} \]
Divisione di potenze con la stessa base:
Il risultato della divisione di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{con } a \neq 0 \]
Per definizione:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ volte}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ volte}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{(m-n) \text{ volte}} = a^{m-n}. \]
Potenza di una potenza:
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
Per definizione:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ volte}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{m \cdot n \text{ volte}} = a^{m \cdot n}. \]
Prodotto di potenze con basi diverse ma stesso esponente:
La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze dei singoli fattori:
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Per definizione:
\[ (a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ volte}} = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ volte}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ volte}}) = a^n \cdot b^n. \]
Quoziente di potenze con basi diverse ma stesso esponente:
La potenza di un quoziente è il quoziente delle potenze del numeratore e del denominatore:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{con } b \neq 0 \]
Per definizione:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ volte}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ volte}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ volte}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Potenza con esponente frazionario:
Per definizione, l’espressione \(a^{\frac{n}{m}}\) indica la radice \(m\)-esima di \(a^n\), ovvero:
\[ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \quad \text{con } a \geq 0, \, m > 0 \]
La definizione garantisce che la proprietà generale delle potenze sia rispettata. Ad esempio:
\[ a^{\frac{n}{m}} \cdot a^{\frac{p}{q}} =: a^{\frac{n}{m} + \frac{p}{q}} \]
Potenze con esponente negativo:
Un numero elevato a un esponente negativo è uguale al reciproco della potenza con esponente positivo:
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{con } a \neq 0 \]
Potenza con Esponente Zero
Quando estendiamo una definizione (in questo caso le potenze) a nuovi casi (come l'esponente zero), vogliamo che le proprietà già valide nei casi noti continuino a valere anche nei nuovi casi.
Per \(a \neq 0\) e per esponenti positivi, sappiamo che vale la proprietà fondamentale:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Per mantenere la coerenza con la divisione di potenze, definiamo per \(n > 0\):
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]
Consideriamo un qualsiasi numero \(n\). Per la proprietà delle potenze deve valere:
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 \]
Ma sappiamo anche che:
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^n \cdot \frac{1}{a^n} = 1 \]
Quindi, per la proprietà transitiva \( a^0 = 1 \).
Questa definizione mantiene coerenti tutte le proprietà delle potenze. Per esempio:
\[ a^m \cdot a^0 = a^m \cdot 1 = a^m = a^{m+0} \]
\[ \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 = 1 \]
La definizione \(a^0 = 1\) non è arbitraria, ma è l'unica che garantisce la coerenza delle regole algebriche delle potenze.
Esercizi sulle Proprietà delle Potenze
Esercizio 1. Semplifica: \( a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 \)
Soluzione. Applichiamo la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base, sommando gli esponenti:
\begin{align} a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 &= a^{5+3} \cdot b^{2+4} \\ &= a^8 \cdot b^6 \end{align}
Risultato: \( a^8 \cdot b^6 \).
Esercizio 2. Semplifica \( (a^3 \cdot b^2)^4 \).
Soluzione. Applichiamo la proprietà delle potenze al prodotto, elevando ogni fattore al nuovo esponente:
\[ \begin{align*} (a^3 \cdot b^2)^4 &= (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 \\ &= a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} \\ &= a^{12} \cdot b^8 \end{align*} \]
Risultato: \( a^{12} \cdot b^8 \).
Esercizio 3. Semplifica:
\[ \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} \]
Soluzione. Utilizziamo la proprietà della divisione di potenze con la stessa base, sottraendo gli esponenti:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} &= \frac{a^6}{a^2} \cdot \frac{b^8}{b^3} \\ &= a^{6-2} \cdot b^{8-3} \\ &= a^4 \cdot b^5 \end{align}
Risultato: \( a^4 \cdot b^5 \).
Esercizio 4. Semplifica:
\[ \left(\frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2}\right)^2 \]
Soluzione. Iniziamo a semplificare i termini entro le parentesi tonde, poi applichiamo la potenza al risultato:
\[ \begin{align} \frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2} &= \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^5}{b^2} \\ &= a^{3-1} \cdot b^{5-2} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align} \]
Ora, applichiamo la potenza al risultato semplificato:
\[ \begin{align} \left(a^2 \cdot b^3\right)^2 &= (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \\ &= a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \\ &= a^4 \cdot b^6 \end{align} \]
Risultato: \( a^4 \cdot b^6 \).
Esercizio 5. Semplifica:
\[ \frac{(a^3 \cdot b^2)^2 \cdot b^4}{a^4 \cdot b^5} \]
Soluzione. Iniziamo calcolando la potenza del numeratore:
\[ \begin{align} (a^3 \cdot b^2)^2 &= (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \\ &= a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} \\ &= a^6 \cdot b^4 \end{align} \]
Aggiungiamo il termine \( b^4 \) al numeratore:
\begin{align} a^6 \cdot b^4 \cdot b^4 &= a^6 \cdot b^{4+4} \\ &= a^6 \cdot b^8 \end{align}
Ora semplifichiamo il quoziente:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^4 \cdot b^5} &= \frac{a^6}{a^4} \cdot \frac{b^8}{b^5}, \\ &= a^{6-4} \cdot b^{8-5}, \\ &= a^2 \cdot b^3. \end{align}
Risultato: \( a^2 \cdot b^3 \).
