In questa pagina vedremo come calcolare la derivata del logaritmo in base \( b \) utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \). Formalmente:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
Derivata per \( h \to 0 \)
Consideriamo la funzione \( f(x) = \log_b(x) \). La derivata di \( f(x) \) è data da:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h} \quad ( * ) \]
Utilizziamo la formula del cambiamento di base dei logaritmi (Proprietà dei Logaritmi):
\[ \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
Quindi, il numeratore in \( (*) \) diventa:
\[ \log_b(x + h) - \log_b(x) = \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{\ln(b)} \]
Semplificando:
\[ f'(x) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \]
Sappiamo già che:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} = \frac{1}{x} \]
Quindi:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)} \]
Troviamo quindi che la derivata di \( \log_b(x) \) è:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]
Derivata per \( x \to x_0 \)
Consideriamo ora il rapporto incrementale per \( x \to x_0 \):
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
Applicando la formula del cambiamento di base dei logaritmi (Proprietà dei Logaritmi)
\[ \log_b(x) - \log_b(x_0) = \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{\ln(b)} \]
Semplificando:
\[ f'(x_0) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Sappiamo che:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} = \frac{1}{x_0} \]
Quindi:
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0 \ln(b)} \]
Anche in questo caso, otteniamo:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]
