Derivata del Logaritmo Naturale

In questa pagina vedremo come calcolare la derivata del logaritmo naturale utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \). Formalmente, come:

\[ \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]



Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)

Applicando questa definizione alla funzione \( \ln(x) \), otteniamo:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \quad ( * ) \]

Utilizzando la proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere il numeratore in \( ( * ) \) come:

\[ \ln(x + h) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x + h}{x}\right) \]

Quindi,

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} \]

Per semplificare ulteriormente, osserviamo che quest'ultima nasconde un limite notevole. Se poniamo \( t = \frac{h}{x} \), allora \( h = x t \). Di conseguenza, quando \( h \to 0 \), anche \( t \to 0 \). Quindi

\[ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} \stackrel{\text{Limite Notevole}}{=} \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]

Troviamo quindi che la derivata di \( \ln(x) \) è

\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]

Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)

Allo stesso modo, calcoliamo il limite quando \( x \to x_0 \). Utilizzando questa definizione, il limite del rapporto incrementale è

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]

Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi \( \ln( x ) - \ln(x_0) = \ln \left (\frac{x}{x_0} \right ) \). Il numeratore diventa:

\[ \ln(x) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x}{x_0}\right) \]

Quindi,

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln\left(\frac{x}{x_0}\right)}{x - x_0} \qquad (*) \]

Per semplificare, poniamo \( u = x - x_0 \), implicando che \( x = x_0 + u \). Quando \( x \to x_0 \), anche \( u \to 0 \).

Sostituendo \( x = x_0 + u \) nel limite \( (*) \), abbiamo

\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x_0 + u}{x_0}\right)}{u} \]

L'argomento del logaritmo può essere riscritto in modo da individuare più facilmente il limite notevole che ci consentirà di calcolare la derivata che stiamo cercando. 

\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{u}{x_0}\right)}{u} \]

Se poniamo \( t = \frac{u}{x_0}\), allora \( u = x_0 t \). Inoltre \( u \to 0 \) implica \( t \to 0 \):

\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} \stackrel{\text{Limite Notevole}}{=} \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0} \]

Concludiamo che, come nel caso precedente, la derivata di \( \ln(x) \) è:

\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]