Calcoliamo la derivata della funzione esponenziale \(f(x) = a^x\) come limite del rapporto incrementale:
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]
Applicando questa definizione alla funzione \(f(x) = a^x\), otteniamo:
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Riscriviamo \(a^x = a^{x_0} \cdot a^{x-x_0}\), quindi:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x-x_0} - 1}{x - x_0} \]
Introduciamo una variabile ausiliaria \(u = x - x_0\) (anche se non è necessario), in quanto per \( x \to x_0 \), \( x - x_0 \to 0 \). In questo modo, il limite diventa:
\[ L = \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x-x_0} - 1}{x-x_0} = \lim_{u \to 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln(a) \qquad (\text{Limite Notevole})\]
Il valore di \( L \) è il logaritmo naturale della base \(a\), ovvero \(\ln(a)\). Pertanto, la derivata della funzione esponenziale è:
\[ f'(x) = a^x \cdot \ln(a) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
